1.2. 随机事件#
1.2.1. 定义#
- 样本空间
称随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为
\( \Omega=\{ \omega \}. \)。
- 样本点
样本空间中的元素，又称基本结果。
举一些例子来帮助理解样本空间。
Example 1.1 (样本空间)
场景一：投掷一枚硬币
投掷一枚硬币的结果样本空间为 \(\{\text{正,反}\}\) 。
场景二：投掷一个六面骰子
投掷一个六面骰子的结果样本空间为 \(\{1,2,3,4,5,6\}\) 。
场景三：在一天内使用手机的时间
学生在未来的一天内使用手机的时间所构成的样本空间为 \(\{t:0 \leq t \leq 24\}\) 。
场景四：一名学生在罚球线进行定点投篮
只允许该学生投掷10个球。
在10次投球过程中投中球数量的样本空间为 \(\{0,1,\cdots ,10\}\) 。
允许该学生投掷任意数量的球。
投中5个球时所花费时间的样本空间为 \(\{t:t\geq 0\}\) 。
允许该学生投掷任意数量的球。
投中5个球时所投出球数的样本空间为 \(\{k:k=5,\cdots\}\) 。
Question
从集合论的角度来看，Example 1.1 中所定义的样本空间有什么差异？
- 随机事件
称随机现象的某些样本点组成的集合为随机事件，简称事件。常用英文大写字母表示。
Example 1.2 (随机事件)
考虑投掷一颗六面骰子，样本空间为 \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\) 。
若我们感兴趣的是“骰子出现奇数点”，那么随机事件为 \(A=\{1,3,5\}\) 。
- 基本事件
由样本空间中单个元素组成的子集。
- 必然事件
样本空间的最大子集，也即是样本空间本身。
- 不可能事件
样本空间的最小子集，也就是空集。
1.2.2. 事件的关系、运算及运算性质#
文字描述 |
数学表示 |
|---|---|
事件 \(A\) 发生必然导致事件 \(B\) 发生 |
\(A\subset B\) |
事件 \(A\) 与事件 \(B\) 相等 |
\(A = B\) |
事件 \(A\) 与事件 \(B\) 不可能同时发生（ \(A\) 与 \(B\) 互不相容） |
\(AB=\emptyset\) |
文字描述 |
数学表示 |
|---|---|
事件 \(A\) 与 \(B\) 中至少有一个发生 |
\(A\cup B\) |
事件 \(A\) 与 \(B\) 同时发生 |
\(A\cap B\) 或 \(AB\) |
事件 \(A\) 发生而 \(B\) 不发生 |
\(A-B\) |
事件 \(A\) 不发生 |
\(\overline{A}\) 或 \(A^{c}\) |
运算性质 |
数学表示 |
|---|---|
交换律 |
\(A\cup B =B \cup A, \quad AB =BA\) |
结合律 |
\(\left ( A\cup B \right )\cup C =A\cup \left ( B \cup C \right ),\quad \left ( A B \right ) C =A \left ( B C \right )\) |
分配律 |
\((A\cup B)\cap C=AC\cup BC,\quad (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)\) |
对偶律 |
\(\overline{A \cup B } =\overline{A} \cap \overline{B},\quad \overline{A \cap B } =\overline{A} \cup \overline{B}\) |
在实际应用中，对偶律是最为常用的运算性质，并且可以推广至有限个和可列个随机变量的情形。
Summary
样本空间本质上是一个集合。随机事件是样本空间的一个子集，本身也是一个集合。事件间的关系、运算以及运算性质本质上都是集合间的关系、运算及运算性质。