22.3. 单个总体正态分布下的假设检验问题

22.3.1. 方差已知时， \(\mu\) 的检验

Example 22.5

设 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是来自正态分布 \(N(\mu,\sigma_0^2)\) 的样本，其中 \(\sigma_0^2\) 是已知的。我们需要检验以下假设

\[ H_0: \mu \leq \mu_0 \quad \text{vs} \quad H_0: \mu > \mu_0. \]

求显著性水平为 \(\alpha\) 的检验。

Solution

因为备择假设依旧为 \(\mu > \mu_0\) ，所以，我们构造拒绝域为

\[ W = \left\{\bar{x} \geq c\right\}. \]

考虑第一类错误发生的概率为

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} \alpha_{\mu}(c) &=& P_{\mu}(\bar{x} \geq c|H_0) \\ &=& 1-\Phi\left(\frac{c-\mu}{\sqrt{\sigma_0^2/n}}\right) , \mu \leq \mu_0. \end{eqnarray*} \end{split}\]

注意到 \(\alpha_{\mu}(c)\) 是关于 \(\mu\) 的增函数。我们要求对任意 \(\mu\leq \mu_0\) ，有

\[ \alpha_{\mu}(c) \leq \alpha. \]

只需要 \(\max_{\mu \leq \mu_0}\alpha_{\mu}(c)= \alpha\) ，等价于 \(\alpha_{\mu_0}(c)\leq \alpha\) 。于是可以解得

\[ c = \mu_0 + z_{1-\alpha}\sqrt{\sigma_0^2/n}. \]

由此，所构造的拒绝域仍为

\[ W = \{(x_1,x_2,\cdots,x_n): \bar{x} \geq \mu_0 + z_{1-\alpha} \sqrt{\sigma_0^2/n}\}. \]

Remark

假设\( H_0: \mu = \mu_0 \quad \text{vs} \quad H_0: \mu > \mu_0 \)和\( H_0: \mu \leq \mu_0 \quad \text{vs} \quad H_0: \mu > \mu_0\) 我们构造的水平为 \(\alpha\) 的显著性检验是相同的，拒绝域均为 \(W = \left\{ \bar{x} \geq \mu_0 + z_{1-\alpha} \sqrt{\sigma_0^2/n} \right\}\) 。

22.3.2. 方差未知时， \(\mu\) 的检验

Example 22.6

设 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是来自正态分布 \(N(\mu,\sigma)\) 的样本，其中 \(\sigma\) 是未知的。我们需要检验以下假设

\[ H_0: \mu \leq \mu_0 \quad \text{vs} \quad H_0: \mu > \mu_0. \]

求显著性水平为 \(\alpha\) 的检验。

Solution

我们构造的拒绝域为 \( W = \left\{\bar{x} \geq c\right\}. \) 考虑第一类错误发生的概率为

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} \alpha_{\mu_0}(c) &=& P_{\mu}(\bar{x} \geq c|H_0) \\ &=& P_{\mu}\left(\frac{\bar{x} - \mu}{\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}} \geq \frac{c - \mu}{\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}}|H_0\right)\\ &=& 1- P\left(\frac{\bar{x} - \mu_0}{\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}}\leq \frac{c - \mu_0}{\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}}\right) \end{eqnarray*} \end{split}\]

其中， \(\hat{\sigma}^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\) 且检验统计量为

\[ \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}} \sim t(n-1). \]

为了 \(\alpha_{\mu_0}(c) = \alpha\) ，可解得

\[ c = \mu_0 + t_{1-\alpha}(n-1)\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}. \]

由此，所构造的拒绝域仍为

\[ W = \{(x_1,x_2,\cdots,x_n): \bar{x} \geq \mu_0 + t_{1-\alpha}(n-1)\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}\}. \]

Remark

这个检验是单样本的 \(t\) 检验，这是因为检验统计量服从 \(t\) 分布。

上述介绍的检验都是单边检验，以下我们给一个双边检验的例子。

Example 22.7

设 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是来自正态分布 \(N(\mu,\sigma)\) 的样本，其中 \(\sigma\) 是未知的。我们需要检验以下假设

\[ H_0: \mu = \mu_0 \quad \text{vs} \quad H_0: \mu \neq \mu_0. \]

求显著性水平为 \(\alpha\) 的检验。

Solution

我们构造的拒绝域为

\[ W = \left\{\bar{x} \leq c_1\right\} \cup \left\{\bar{x} \geq c_2\right\}. \]

考虑第一类错误发生的概率为

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} \alpha_{\mu_0}(c) &=& P_{\mu_0}\left(\left\{\bar{x} \leq c_1\right\} \cup \left\{\bar{x} \geq c_2\right\}\right) \\ &=& P_{\mu_0}\left(\left\{\bar{x} \leq c_1\right\} |H_0\right) + P\left( \left\{\bar{x} \geq c_2\right\}\right) \\ &=& P_{\mu_0}\left(\frac{\bar{x} - \mu_0}{\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}} \leq \frac{c_1 - \mu_0}{\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}}\right) + P_{\mu_0}\left(\frac{\bar{x} - \mu_0}{\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}} \geq \frac{c_2 - \mu_0}{\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}}\right)\\ &=& P\left( t \leq \frac{c_1 - \mu_0}{\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}} \right) + 1 - P\left( t \leq \frac{c_2 - \mu_0}{\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}}\right). \end{eqnarray*} \end{split}\]

为了 \(\alpha_{\mu_0}(c) = \alpha\) ，我们将 \(\alpha\) 拆成两部分，即

\[\begin{split} \left\{ \begin{aligned} & P\left( t \leq \frac{c_1 - \mu_0}{\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}} \right) = \alpha/2\\ & 1 - P\left( t \leq \frac{c_2 - \mu_0}{\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}}\right) = \alpha/2 \end{aligned} \right. \end{split}\]

于是解得

\[\begin{equation*} \begin{aligned} & c_1 = \mu_0 - t_{1-\alpha/2}(n-1)\sqrt{\hat{\sigma}^2/n} \\ & c_2 = \mu_0 + t_{1-\alpha/2}(n-1)\sqrt{\hat{\sigma}^2/n} . \end{aligned} \end{equation*}\]

由此，所构造的拒绝域仍为

\[ W = \{(x_1,x_2,\cdots,x_n): \bar{x} \leq \mu_0 - t_{1-\alpha/2}(n-1)\sqrt{\hat{\sigma}^2/n} \text{ 或 } \bar{x} \geq \mu_0 + t_{1-\alpha/2}(n-1)\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}\}. \]

22.3.3. 假设检验与区间估计之间的关系

在例题 Example 22.7 中，我们构造的拒绝域为

\[ W = \{\bar{x} \leq \mu_0 - t_{1-\alpha/2}(n-1)\sqrt{\hat{\sigma}^2/n} \text{ 或 } \bar{x} \geq \mu_0 + t_{1-\alpha/2}(n-1)\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}\}. \]

则接受域为

\[ \overline{W} = \left\{ \mu_0 - t_{1-\alpha/2}(n-1)\sqrt{\hat{\sigma}^2/n} \leq \bar{x} \leq \mu_0 + t_{1-\alpha/2}(n-1)\sqrt{\hat{\sigma}^2/n} \right\}. \]

根据上述区间，并进行变换，可以解得

\[\begin{split} \left\{ \begin{aligned} & \mu_0 \leq \bar{x} + t_{1-\alpha/2}(n-1)\sqrt{\hat{\sigma}^2/n} \\ & \mu_0 \geq \bar{x} - t_{1-\alpha/2}(n-1)\sqrt{\hat{\sigma}^2/n} \end{aligned} \right. \end{split}\]

从 \(\mu_0\) 的角度来看， \(\mu_0\) 的区间为

\[ [\bar{x} - t_{1-\alpha/2}(n-1)\sqrt{\hat{\sigma}^2/n},\bar{x} + t_{1-\alpha/2}(n-1)\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}]. \]

Example 22.8

设 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 来自于一个正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) ，其中 \(\sigma^2\) 未知。求 \(\mu\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的置信区间。

Solution

因为 \(\mu\) 的点估计为 \(\hat{\mu} = \bar{x}\) ，其分布为 \(N(\mu,\sigma^2/n)\) ，而 \(\hat{\sigma}^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2\) 。所构造的枢轴量为

\[ \frac{\bar{x} - \mu}{\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}} \sim t(n-1). \]

所以， \(\mu\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的置信区间为

\[ [\bar{x} - t_{1-\alpha/2}(n-1)\sqrt{\hat{\sigma}^2/n},\bar{x} + t_{1-\alpha/2}(n-1)\sqrt{\hat{\sigma}^2/n}] \]

Remark

区间估计也可以解决假设检验问题。以显著性水平为 \(\alpha\) 的双边检验问题为例，如果所构造的置信水平为 \(1-\alpha\) 置信区间能够盖住 \(\theta_0\) ，那么我们可以通过变换确定样本落在接受域 \(\overline{W}\) 中，从而接受原假设。