11.6. 习题

• 一射手单发命中目标的概率为 \(p(0 < p < 1)\) ，射击进行到命中目标两次为止。设 \(X\) 为第一次命中目标所需的射击次数， \(Y\) 为总共进行的射击次数，求 \((X,Y)\) 的联合分布和条件分布。

• 随机变量 \(X\) 服从 \((1,2)\) 上的均匀分布，在 \(X=x\) 的条件下，随机变量 \(Y\) 的条件分布是参数为 \(x\) 的指数分布，证明： \(XY\) 服从参数为 1 的指数分布。

• 设以下所涉及的数学期望均存在，试证：

• \(E[g(X)Y|X] = g(X)E(Y|X)\) ；

• \(E(XY) = E[XE(Y|X)]\) ；

• \(\text{Cov}[X,E(Y|X)] = \text{Cov}(X,Y).\)

• 设 \(X\) 是一个连续随机变量，其密度函数为

\[\begin{split} p_X(x) = \begin{aligned} &x/4, &1< x\leq 3\\ &0, &\text{其他}. \end{aligned} \end{split}\]

令事件 \(A = \{X\geq 2\}\) 。

• 求 \(E(X)\) ， \(P(A)\) ， \(p_{X|A}(x)\) 以及 \(E(X|A)\) ；

• 令 \(Y = X^2\) 。求 \(E(Y)\) 和 \(\text{Var}(Y)\) 。

• Pat 和 Nat 将要约会，他们所有的约会都安排在晚上 9 点开始。Nat 总是在晚上 9 点准时到达。Pat 非常混乱，到达的时间在晚上 8 点到晚上 10 点之间均匀分布。设 \(X\) 表示从晚上 8 点到 Pat 到达的时间之间的小时数。如果 Pat 在晚上 9 点之前到达，他们的约会将持续整整 3 个小时。如果 Pat 在晚上 9 点之后到达，他们约会的持续时间将在 0 到 3-X 小时之间均匀分布。约会从他们见面的时候开始。当 Pat 迟到时，Nat 会感到生气，在 Pat 第二次约会迟到超过 45 分钟后，Nat 将结束这段关系。所有约会均相互独立。

• Nat 等待 Pat 到达的期望小时数是多少？

• 任一约会的期望持续时间是多少？

• 他们分手前的期望约会次数是多少？