12.5. 习题

• 设 \(D(x)\) 为退化分布：

\[\begin{split} D(x) = \left\{ \begin{matrix} 0, & x < 0,\\ 1, & x\geq0. \end{matrix} \right. \end{split}\]

试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？(其中 \(n = 1,2,\cdots.\) )

• \(\{D(x + n)\}\) ;

• \(\{D(x + 1/n)\}\) ;

• \(\{D(x-1/n)\}.\)

• 设 \(X_1,X_2,\cdots\) 是均匀分布于(-1, 1)区间的独立随机变量。证明序列 \(Y_1,Y_2,\cdots\) 在概率上收敛到某个极限，并确定以下每种情况下的极限：

• \(Y_n = X_n/n\) ；

• \(Y_n =(X_n)^n\) ；

• \(Y_n = X_1\cdot X_2\cdots X_n\) ；

• \(Y_n = \max\{X_1,\cdots,X_n\}\) .