6.3. 数学期望的性质

通过例 Example 6.3，我们在计算随机变量函数的期望时有统一的公式。

Theorem 6.1

若随机变量 \(X\) 的分布用分布列 \(p(x_i)\) 或密度函数 \(p(x)\) 表示，则 \(X\) 的某一函数 \(g(X)\) 的数学期望为

\[\begin{split}E(g(x))=\left\{\begin{aligned} &\sum_{i} g\left(x_{i}\right) p\left(x_{i}\right), &\quad \text{在离散场合}, \\ &\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) p(x) d x, &\quad \text{在连续场合}. \end{aligned}\right.\end{split}\]

Property 6.1

• 若 \(c\) 是常数，则 \(E(c) = c\) ；

• 对任意常数 \(a\) ，有 \(E(aX) = aE(X)\) ；

• 对任意的两个函数 \(g_1(x)\) 和 \(g_2(x)\) ，有

\[ E(g_1(X)\pm g_2(X)) = E(g_1(X)) \pm E(g_2(X)). \]

Question

已知 \(X\) 的期望 \(E(X)\) ，如何计算 \(X\) 的线性变换 \(aX+b\) 的期望呢？