11.4. 混合场合下的条件分布#
Example 11.6
生活中，医生根据一些生理指标测量，如体温、血压等生化指标来进行医学诊断。
我们简化一下这个问题。令 \(A\) 是我们感兴趣的一个随机变量，而 \(P(A)\) 是事件 \(A\) 发生的概率。令 \(Y\) 是一个连续型随机变量，并假定已知条件密度函数 \(p(y|A)\) 和 \(p(y|\overline{A})\) 。
Question
在给定 \(Y\) 取值为 \(y\) 时，事件 \(A\) 发生的条件概率 \(P(A|Y=y)\) 是什么？如何计算？
和连续场合下的条件分布有同一个问题，因为 \(Y\) 是连续型的随机变量，所以事件 \(\{Y = y\}\) 发生的概率为零。这里我们考虑 \(\{y \leq Y \leq y + \delta\}\) ，其中 \(\delta>0\) 。我们考虑
\[\begin{split}
\begin{eqnarray*}
P(A | Y= y) &\approx& P(A|y \leq Y \leq y+\delta)= \frac{P(A)P(y\leq Y\leq y+\delta | A)}{P(y \leq Y\leq y+\delta)}\\
&\approx& \frac{P(A) p(y|A)\delta}{p(y)\delta} = \frac{P(A) p(y|A)}{p(y)}
\end{eqnarray*}
\end{split}\]
以上就是混合场景下条件分布的定义。由此，可以定义全概率公式和贝叶斯公式。
全概率公式为
\[
p_Y(y) = P(A) p(y|A) + P(\overline{A}) p(y|\overline{A}).
\]
贝叶斯公式为
\[
P(A|Y= y) = \frac{P(A)p(y|A)}{P(A)p(y|A) + P(\overline{A})p(y|\overline{A})}.
\]
如果已知 \(P(A|Y=y)\) 后，我们也可以推导出 \(p(y|A)\) ，即
\[
p(y|A) = \frac{p_Y(y) P(A|Y=y)}{P(A)} = \frac{p_Y(y) P(A|Y=y)}{\int_{-\infty}^{\infty} p_Y(y) P(A|Y=y) \text{d} y}.
\]
Remark
上述公式中将随机事件 \(A\) 推广到离散型随机变量。