19.6. 习题

• 设总体分布列/密度函数如下， \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是样本，试求未知参数的矩估计：

• \(P(X = x) = (x-1)\theta^{2} (1-\theta)^{x-2},x=2,3,\cdots, 0<\theta<1\) .

• \(p(x;\theta) = (\theta+1) x^{\theta}, 0<x<1, \theta>0\) .

• 设总体为 \(N(\mu,1)\) ，现对该总体观测 \(n\) 次，发现有 \(k\) 次观测值为正，使用频率替换方法求 \(\mu\) 的估计。

• 设总体的概率密度函数如下， \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是样本，试求未知参数的最大似然估计：

• \(p(x;\theta) = \frac{1}{2\theta} e^{-|x|/\theta}, \theta> 0\) ;

• \(p(x;\theta_1,\theta_2) = \frac{1}{\theta_2-\theta_1}, \theta_1 < x < \theta_2\)

• （选做） 众所周知，双胞胎可分为同卵双胞胎与异卵双胞胎。在一项针对双胞胎的研究中，研究者关心的是一对双胞胎是同卵双胞胎的概率，记为 \(p\) ，而且研究者也关心一个孩子是男孩的概率，记为 \(q\) . 在这项研究中，研究者招募到了 \(n\) 对双胞胎（包括龙凤胎），其中 \(n_1\) 是两个男孩的双胞胎， \(n_2\) 是两个女孩的双胞胎， \(n_3= n-(n_1+n_2)\) 是龙凤胎（一个男孩一个女孩）。另外，研究者虽然知道不同性别的双胞胎一定不是同卵双胞胎，但并不知道其中哪些相同性别的双胞胎为同卵双胞胎。

• 利用 EM 算法，写出 \(\boldsymbol{\theta} = (p,q)\) 的最大似然估计的形式。（提示：构造合适的潜变量，定义似然函数，写出 EM 算法中的 E 步和 M 步）

• 在 \(n = 1000, n_1 = 432, n_2 = 232, n_3 = 336\) 时，利用 Python 计算出 \(\boldsymbol{\theta}\) 的最大似然估计。