13.3. 大数定律的一般形式#
我们从另一个视角看一下伯努利大数定律，所谓的频率是
\[
\frac{S_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i
\]
而所谓的概率是
\[
p = E\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i).
\]
伯努利大数定律表明了对于 \(\{X_n\}\) 这个随机变量序列，如果 \(X_i\) 是服从伯努利分布 \(b(1,p)\) ，且每个随机变量是相互独立，那么对任意 \(\varepsilon>0\) ，都有
\[
\lim_{n\rightarrow \infty} P\left( \left| \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i)\right| >\varepsilon \right) =1.
\]
注意到的是，伯努利大数定律给了一个很强的条件——不仅约束了随机变量序列中每一个随机变量的分布类型，还约束了随机变量序列中每一个随机变量之间都是相互独立的。于是，我们可以给出以下这个定义。
- 弱大数定律
设有一随机变量序列 \(\{X_{n}\}\) ，如果其具有形如
\[P\left( \left | \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}) \right | < \varepsilon \right)\rightarrow 1\]
的性质，则称该随机变量序列 \({X_{n}}\) 服从（弱）大数定律。
我们自然有下面的一个问题：
Question
是否只有满足伯努利大数定律的条件，随机变量序列才能满足大数定律？