2.7. 习题

1. 计算题 口袋中有一个球，不知其颜色是黑还是白。现再往口袋中放入一个白球，然后从口袋中任意取出一个，发现取出的是白球，试问口袋中原来那个球是白球的可能性为多少？

2. 计算题 假设只考虑天气的两种情况：有雨或者无雨。若已知今天的天气情况，明天的天气相同的概率为 \(p\) ，不同的概率为 \(1-p\) 。设第一天无雨，试求第 \(n\) 天也无雨的概率。

3. 计算题 甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知在每局中甲胜的概率为 \(0.6\) ,乙胜的概率为 \(0.4\) 。比赛可采用三局两胜制或五局三胜制，试问哪一种比赛制度对甲更有利？

4. 计算题 现用噪声通信信道进行通信。信源通过噪声通信信道发送消息（一串符号），如图Fig. 2.2所示。每个符号为 0 或 1，概率分别为 \(p\) 和 \(1−p\) ，且分别以概率 \(\epsilon_0\) 和 \(\epsilon_1\) 被错误接收，不同符号被错误接收的概率是独立的。

Fig. 2.2 信号传递图

请回答以下问题：

• 正确接收第 \(k\) 个符号的概率是多少？

• 符号串1011被正确接收的概率是多少？

• 为了提高传输可靠性，每个符号将被传输三次，接收的字符串按多数规则进行解码。这种方式被称为“三次传输”。比如，要发送的符号为0，则发送的符号串为000。当且仅当所接收到的三个符号串中包含两个及以上的0，在接收器处要解码为0。0被正确解码的概率是多少？

• 相较于单次传输，当 \(\epsilon_0\) 取值为多少时，三次传输能够提高0被正确解码的概率？

• 在三次传输中，已知接收到的符号串为101时，所发送的符号为0的概率是多少？

5. 证明题 设 \(P(A) > 0\) ,试证：

\[ P(B|A) \geq 1-\frac{P(\overline{B})}{P(A)}. \]

6. 证明题 对于事件 \(A\) 与事件 \(B\) ，假设 \(P(B) > 0\) ，证明 \(P(A\cap B|B) = P(A|B)\) 。