17.4. 习题#
\(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是来自 \(N(\mu,1)\) 的样本，试确定最小的常数 \(c\) 使得对任意的 \(\mu\geq 0\) 有
\[P(|\bar{x}|< c) \leq \alpha. \]
设随机变量 \(X \sim F(n,m)\) ，证明：
\[Z = \frac{\frac{n}{m}X}{(1+\frac{n}{m}X)}\]
服从贝塔分布，并指出其参数.
设 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是来自 \(N(\mu_1,\sigma^2)\) 的样本， \(y_1,y_2,\cdots,y_m\) 是来自 \(N(\mu_2,\sigma^2)\) 的样本， \(c,d\) 是任意两个不为 \(0\) 的常数，证明
\[
t = \frac{c(\bar{x} - \mu_1) + d(\bar{y} - \mu_2)}{s_w\sqrt{\frac{c^2}{n} + \frac{d^2}{m}}} \sim t(n+m-2)
\]
其中 \(s_w^2 = \frac{(n-1)s_x^2 + (m-1)s_y^2}{n+m-2}\) 。