乘法公式

2.3. 乘法公式#

Theorem 2.2 (乘法公式)

若 \(P(B)>0\) ，则：

\[P(AB)=P(B)\cdot P(A|B)\]

Theorem 2.3

若 \(P(A_{1}A_{2}\cdots A_{n-1} )>0\) ，则：

\[P(A_{1}A_{2}\cdots A_{n} )=P(A_{1})\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot P(A_{3}|A_{1}A_{2})\cdots P(A_{n}|A_{1}A_{2}\cdots A_{n-1})\]
Proof

令 \(B_{i}=A_{1}A_{2}\cdots A_{i},i=1,2,\cdots,n\) 。

一方面，我们想要证明所定义的 \(P(B_i)\) 均大于零。因为 \(P(B_{n-1}) = P(A_{1}A_{2}\cdots A_{n-1})>0\) 而且：

\[\begin{eqnarray*} P(B_{i}) &=& P(A_1A_2\cdots A_i)\\ &\geq& P(A_1A_2\cdots A_i \cap A_{i+1}\cdot A_{n-1}) \\ & = & P(B_{n-1}) >0, i=1,2,\cdots,n-1 \end{eqnarray*}\]

另一方面，我们证明 \(P(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}) = P(A_{1}A_{2}\cdots A_{n-1})\cdot P(A_n|A_{1}A_{2}\cdots A_{n-1})\) . 因为 \(P(B_{n-1}) = P(A_{1}A_{2}\cdots A_{n-1})>0\) ，所以：

\[\begin{eqnarray*} P(B_{n})&=&P((A_{1}A_{2}\cdots A_{n-1})\cap A_{n})\\ &=&P(B_{n-1}\cap A_{n})\\ &=&P(B_{n-1})\cdot P(A_{n}|B_{n-1})\\ &=&P(B_{n-1})\cdot P(A_{n}|A_{1}A_{2}\cdots A_{n-1}) \end{eqnarray*}\]

类似地，我们有 \(P(B_{i}) = P(B_{i-1}) P(A_{i}|B_{i-1}),i=2,3,\cdots,n-2\) 。由此得证。

Example 2.2 (罐子模型)

设罐子里有 \(b\) 个黑球， \(r\) 个红球。每次随机取出一个球，取出后将原球放回，同时放入 \(c\) 个同色球和 \(d\) 个异色球。若连续从罐子里取出三个球，求三个球中有两个红球、一个黑球的概率。

Solution

记 \(B_{i}\) 为“第 \(i\) 次取出的是黑球”， \(R_{j}\) 为“第 \(j\) 次取出的是红球”。由乘法公式，可知所求的概率为：

\[\begin{eqnarray*} P(B_{1} R_{2}R_{3})&=&P(B_{1})P(R_{2}|B_{1})P(R_{3}|B_{1}R_{2})=\frac{b}{b+r} \cdot \frac{r+d}{b+r+c+d}\cdot \frac{r+d+c}{b+r+2c+2d} \\ P(R_{1} B_{2}R_{3})&=&P(R_{1})P(B_{2}|R_{1})P(R_{3}|R_{1}B_{2})=\frac{r}{b+r} \cdot \frac{b+d}{b+r+c+d}\cdot \frac{r+d+c}{b+r+2c+2d} \\ P(R_{1} R_{2}B_{3})&=&P(R_{1})P(R_{2}|R_{1})P(B_{3}|R_{1}R_{2})=\frac{r}{b+r} \cdot \frac{r+c}{b+r+c+d}\cdot \frac{b+2d}{b+r+2c+2d} \end{eqnarray*}\]