24.4. 习题#
设一页书上的错别字个数服从泊松分布 \(P(\lambda)\) ， \(\lambda\) 有两个可能取值：1.5 和 1.8，且先验分布为
\[
P(\lambda = 1.5) = 0.45, \quad P(\lambda = 1.8) = 0.55
\]
现检查了一页，发现有 \(3\) 个错别字，试求 \(\lambda\) 的后验分布。
验证：正态分布方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布。（提示：若 \(X\) 服从伽玛分布，那么称随机变量 \(1/X\) 的分布为倒伽玛分布。）
设 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为
\[
p(x;c,\theta) = cx^{c-1}\theta^{-c} I_{\{ 0\leq x \leq \theta \}}, c> 0, \theta >0.
\]
证明：
若 \(c\) 已知，则 \(\theta\) 的共轭先验分布为帕雷托分布；
若 \(\theta\) 已知，则 \(c\) 的共轭先验分布为伽玛分布。
设 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是来自参数为 \(\lambda\) 的泊松分布 \(P(\lambda)\) 的样本. 假定 \(\lambda\) 的先验分布为伽玛分布 \(Ga(\alpha,\beta)\) .
计算 \(\lambda\) 的后验分布。
求 \(\lambda\) 的贝叶斯估计 \(\hat{\lambda}_1\) 。
求 \(\lambda\) 的极大似然估计 \(\hat{\lambda}_2\) 。
设随机变量 \(X\) 服从负二项分布，其概率分布为
\[
p(x|\theta) = C_{x-1}^{k-1}\theta^k (1-\theta)^{x-k}, x= k,k+1,\cdots
\]
证明其成功概率 \(\theta\) 的共轭先验分布族为贝塔分布族。