16.6. 习题

• 设 \(x_1,x_2,x_n\) 和 \(y_1,y_2,\cdots,y_n\) 是两组样本观测值，且关系如下：

\[ y_i = a x_i + b, i=1,2,\cdots,n \]

其中， \(a\) 和 \(b\) 为非零常数。试求：

• 样本均值 \(\bar{x}\) 和 \(\bar{y}\) 间的关系；

• 样本方差 \(s_x^2\) 和 \(s_y^2\) 间的关系。

• 设总体 \(X\) 的 \(3\) 阶矩存在，若 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是取自该总体的简单随机样本， \(\bar{x}\) 为样本均值， \(s^2\) 为样本方差，试证：

\[ \text{Cov}(\bar{x},s^2) = \frac{\nu_3}{n}, \]

其中 \(\nu_3 = E(x-E(x))^3\) 。

• 设 \(\bar{x}_1\) 和 \(\bar{x}_2\) 是从同一正态总体 \(N(\mu,\sigma^2)\) 独立抽取的容量相同的两个样本均值。试确定样本容量 \(n\) ，使得两样本均值的差超过 \(\sigma\) 的概率不超过 \(0.01\) 。

• 从指数总体 \(Exp(1/\theta)\) 抽取了 \(40\) 个样品，试求 \(\bar{x}\) 的渐近分布。

• 设总体 \(X\) 的分布函数 \(F(x)\) 是连续的， \(x_{(1)},x_{(2)},\cdots,x_{(n)}\) 为取自此总体的次序统计量，设 \(\eta_i = F(x_{(i)})\) ，试证：

• \(\eta_1 \leq \eta_2 \leq \cdots \leq \eta_n\) ， \(\eta_i\) 是来自均匀分布 \(U(0,1)\) 总体的次序统计量；

• \(E(\eta_i) = \frac{i}{n+1}\) ， \(\text{Var}(\eta_i) = \frac{i(n+1-i)}{(n+1)^2(n+2)}, 1\leq i\leq n\) ；

• \(\eta_i\) 和 \(\eta_j\) 的协方差矩阵为

\[\begin{split} \begin{pmatrix} \frac{a_1(1-a_1)}{n+2} & \frac{a_1(1-a_2)}{n+2}\\ \frac{a_1(1-a_2)}{n+2} & \frac{a_2(1-a_2)}{n+2} \end{pmatrix} \end{split}\]

其中， \(a_1 = \frac{i}{n+1},a_2 = \frac{j}{n+1}\) .