习题

1.6. 习题#

  1. 概念题 反复掷四面骰子，直到第一次（如果有的话）得到偶数面。这个实验的样本空间是多少？

  2. 概念题 设 \(X\) 为随机变量，其样本空间为 \(\Omega = \{0\leq X\leq 2\}\) ，记事件 \(A = \{0.5 < X \leq 1\}\) , \(B = \{0.25 \leq X\leq 1.5\}\) 。写出下列各事件：

  • \(\overline{A}B\)

  • \(\overline{A} \cup B\)

  • \(\overline{AB}\)

  • \(\overline{A\cup B}\)

  1. 计算题 某城市中共发行3种报纸 \(A,B,C\) .在这城市的居民中有 \(45\%\) 订阅 \(A\) 报、 \(35\%\) 订阅 \(B\) 报、 \(30\%\) 订阅 \(C\) 报、 \(10\%\) 同时订阅 \(A\) 报 \(B\) 报、 \(8\%\) 同时订阅 \(A\) 报 \(C\) 报、 \(5\%\) 同时订阅 \(B\) 报 \(C\) 报、 \(3\%\) 同时订阅 \(A,B,C\) 报。

求以下事件的概率：

  • 只订阅 \(A\) 报的；

  • 只订阅一种报纸的；

  • 至少订阅一种报纸的；

  • 不订阅任何一种报纸的。

  1. 计算题 国际象棋的规则中，“车”只能在棋盘中按行或按列移动。在 \(8\times 8\) 的棋盘中，随意放置8个“车”，所有放置结果都是等可能的。如果8个“车”都不在一行或一列上，我们称这8个“车”是安全的。请问这8个“车”是安全的概率。

  2. 计算题 在一个袋子中，共有 \(N\) 个球，其中有 \(N_i\) 个 \(i\) 号球， \(i=1,2,\cdots,r\) ，且满足 \(N = N_1 + N_2 + \cdots + N_r\) 。从中任意取出 \(n\) 个球。求以下事件的概率：

  • 采用不放回的取法。第 \(1\) 号球取出 \(n_1\) 个，第 \(2\) 号球取出 \(n_2\) 个，以此类推，第 \(r\) 号球取出 \(n_r\) 个，且 \(n=n_1+n_2+\cdots + n_r\) 。这一事件发生的概率是多少？

  • 采用有放回的取法。第 \(1\) 号球取出 \(n_1\) 个，第 \(2\) 号球取出 \(n_2\) 个，以此类推，第 \(r\) 号球取出 \(n_r\) 个，且 \(n=n_1+n_2+\cdots + n_r\) 。这一事件发生的概率是多少？

  1. 计算题 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在24小时内到达的时间是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？

  2. 证明题 证明 Corollary 1.1。

  3. 证明题 证明 Corollary 1.2。

  4. 证明题 证明

  • \(P(AB) \geq P(A)+P(B)-1\) ；

  • 推广至 \(n\) 个随机事件的结果，即 \(P(A_1 A_2\cdots A_n) \geq P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_n)-(n-1)\) 。

  1. 编程题 在0到1之间随机抽取两个数，求随机事件“两数之乘积大于 \(\pi/4\) ”的概率，分别采用频率方法和几何方法确定该概率。