17.1. 引导问题

在本课程中，总是存在一个假定——总体分布是正态分布。 对于任何一个正态分布随机变量 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) ，我们已经证明了，经过标准化后的随机变量是服从标准正态分布，即

\[ \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1). \]

于是，对于样本量为 \(n\) 的样本（数据） \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 均是独立同分布的，总体分布假定为正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) 。我们可以计算样本均值 \(\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\) 和样本方差 \(s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\) 。显然，每一个 \(x_i\) 都是正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的随机变量，类似于标准化，这样的统计量

\[ \frac{x_i - \bar{x}}{\sqrt{s^2}} \]

的分布是什么？仍是正态分布吗？