12.4. 以概率 1 收敛（选修）

以概率 1 收敛

设 \(\{X_n\}\) 是一列随机变量，如果

\[P\left(\lim _{n \rightarrow \infty} X_{n}=X\right)=1\]

则称序列 \(\{X_n\}\) 以概率 1 收敛于 \(X\) ，记 \(X_{n} \stackrel{a \cdot s}{\rightarrow} X\) 。

Property 12.3

\(X_{n} \stackrel{a \cdot s}{\rightarrow} X \Rightarrow X_{n} \stackrel{P}{\rightarrow} X\) ，反之不然。

Example 12.5

考虑一个离散时间的到达过程。我们假定到达的时刻属于正整数集 \({1,2,\cdots}\) 。现将这个集合分割成若干个互不相交的集合， \(I_{k}=\left\{2^{k}, 2^{k}+1, \cdots, 2^{k+1}-1\right\},k=0,1,\cdots\) 。注意到集合 \(I_k\) 的元素个数为 \(2^k\) ，随着 \(k\) 的增大而增大。具体来说，

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} I_0 &=& \{1\}\\ I_{1}&=&\{2,3\}\\ I_{2}&=&\{4,5,6,7\}\\ \vdots \end{eqnarray*} \end{split}\]

假设在每个区间 \(I_k\) 中只有唯一的一个到达时刻，且在区间内每个时刻到达是等可能的。同时假定在各个区间到达时刻是相互独立的。

记第 \(k\) 个区间 \(I_k\) 内的到达时刻为 \(n_k\) ，则 \(n_k\) 是相互独立的随机变量序列， \(k=1,2,\cdots\) 。定义一个新的随机变量序列 \(\{Y_n\}\) ，如果时刻 \(n\) 到达了，则定义 \(Y_n = 1\) ；否则， \(Y_n = 0\) 。如果 \(n \in I_k\) ，则 \(P(Y_n =1) = P(Y_n \neq 0) = \frac{1}{2^k}\) 。

接下来，我们来考虑随机变量序列 \(\{Y_n\}\) 的收敛性。

• 因为 \(I_k\) 互不相容，对于任意的 \(n\) ，存在唯一 \(k\) ，使得 \(n \in I_k\) 。当 \(n\) 越大，则 \(k\) 也越大，即

\[ \lim_{n\rightarrow +\infty} P(Y_n > \varepsilon) = \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{2^k} = 0. \]

因此， \(Y_{n} \stackrel{P}{\longrightarrow} 0\) 。

• 然而，每个区间 \(I_k\) 都有到达时刻，所以，取值为 \(1\) 的 \(Y_n\) 的个数是无穷多次，即对于任意 \(N\) ，存在 \(n > N\) ，使得

\[ P(Y_n = 1) = 1 \]

因此， \(P(\lim_{n \rightarrow +\infty} Y_n = 0) \neq 1\) ，即 \(Y_n\) 不以概率 \(1\) 收敛到 \(0\) 。