5.2. 概率密度函数

概率密度函数 \(p(x)\) 的值虽不是概率，但乘微分元 \(\text{d} x\) 就可以得小区间 \((x,x+\text{d}x)\) 上概率的近似值，即：

\[ p(x)\text{d}x = P(x<X<x+\text{d}x) \]

在 \((a,b)\) 上很多相邻的微分元累积可得 \(p(x)\) 在 \((a,b)\) 上的积分，该值为 \(X\) 在 \((a,b)\) 上取值的概率，即：

\[ \int_{a}^b p(x)\text{d}x = P(a<X<b) \]

分布函数

特别，在 \((-\infty,x]\) 上 \(p(x)\) 的积分就是分布函数 \(F(x)\) ，即：

\[ \int_{-\infty}^x p(t)\text{d} t = P(X\leq x)=F(x) \]

这一关系式是连续随机变量 \(X\) 的概率密度函数 \(p(x)\) 最本质的属性。

概率密度函数

设随机变量 \(X\) 的分布函数为 \(F(x)\) ，若存在实数轴上的一个非负可积函数 \(p(x)\) ，使得对任意实数 \(x\) 有：

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} p(t) d t \]

那么称 \(p(x)\) 为 \(X\) 的概率密度函数（Probability Density Function, P.D.F.)。称随机变量 \(X\) 为连续型随机变量，其分布函数 \(F(x)\) 是连续分布函数。

Theorem 5.1

连续型随机变量 \(X\) 的概率密度函数 \(p(x)\) ，其具有

1. 非负性 \(p(x) \geqslant 0\) ；

2. 正则性 \(\int_{-\infty}^{\infty} p(x) d x = 1\) 。

Remark 5.1

上述两条也是判别某个函数是否为密度函数的充要条件。

Example 5.2

向区间 \((0,a)\) 上任意投点，用 \(X\) 表示其坐标。设这个点落在 \((0,a)\) 中任一小区间的概率与这个小区间的长度成正比，而与小区间位置无关。求 \(X\) 的分布函数和密度函数。

Solution

记 \(X\) 的分布函数为 \(F(x)\) ，则

• 当 \(x<0\) 时，因为 \(\{X \leq x\}\) 是不可能事件，所以 \(F(x)=P( X \leq x)=0\) ；

• 当 \(x \geq a\) 时，因为 \(\{X \leq x\}\) 是必然事件，所以 \(F(x)=P( X \leq x)=1\) ；

• 当 \(0 \leq x <a\) 时， \(F(x) =P(X \leq x)=P(0 \leq X \leq x) = k x\) ，其中 \(k\) 为比例系数。因为 \(F(a)=ka=1\) ，所以 \(k = \frac{1}{a}\) 。于是，分布函数为：

\[\begin{split} F(x)=\left\{\begin{aligned} 0, &\quad x<0 \\ \frac{x}{a}, & \quad 0 \leq x<a \\ 1, &\quad x \geq a. \end{aligned}\right. \end{split}\]

令 \(X\) 的密度函数 \(p(x)\) ：

• 当 \(x<0\) 或 \(x>a\) 时， \(p(x)=F'(x)=0\) ；

• 当 \(x>a\) 时， \(p(x)=F'(x)=0\) ；

• 当 \(0< x< a\) ， \(p(x) = F'(x) = \frac{1}{a}\) .

而在 \(X=0\) 和 \(x=a\) 处， \(p(x)\) 可取任意值，一般就近取值为宜，这不会影响概率的计算。于是， \(X\) 的概率密度是：

\[\begin{split} p(x)= \left\{\begin{aligned} \frac{1}{a}, &\quad 0<x<a \\ 0, & \quad \text { 其他 } \end{aligned}\right. \end{split}\]

Remark 5.2

这个分布就是区间 \((0,a)\) 上的均匀分布，记 \(U(0, a)\) 。

Example 5.3

验证：

\[\begin{split} f(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{1}{2 \sqrt{x}}, &\quad 0<x<1 \\ 0, & \quad \text { 其他 } \end{aligned}\right. \end{split}\]

是否为一个随机变量 \(X\) 的概率密度函数?

Hint

【思路】验证 \(f(x)\) 是否满足非负性和正则性。具体证明过程由同学们课后证明。

Remark

比较密度函数与分布列的异同：

• 已知概率分布列或概率密度函数，可以求出概率分布函数或概率值；

• 离散随机变量的分布函数 \(F(x)\) 总是右连续的阶梯函数；而连续随机变量的分布函数 \(F(x)\) 一定是整个数轴上的连续函数， 其增量为：

  \[ F(x+\Delta x)-F(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} p(t) d t \rightarrow 0(\Delta x \rightarrow 0) \]

• 离散型随机变量 \(X\) 在其可能取值的点 \(x_1,x_2,...,x_n,...,\) 上的概率不为 \(0\) ，而连续随机变量 \(X\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上任一点 \(a\) 的概率恒为 \(0\) ，即：

  \[ P(x=a)=\int_{a}^{a} p(x) d x=0 \]

  这可以作为以下观点的一个例子：不可能事件的概率为 \(0\) ，但概率为 \(0\) 的事件不一定是不可能事件。类似地，必然事件的概率为 \(1\) ，但概率为1的事件不一定是必然事件。

• 连续型随机变量 \(P(a \leq X \leq b)=P(a<X \leq b)=P(a \leq X<b)=P(a<X<b)\) ，但离散型随机变量并不满足这个性质，要”点点计较”。

• 由于在若干点上改变概率密度函数 \(p(x)\) 的值并不影响其积分值，从而不影响分布函数 \(F(x)\) 的值。这意味着一个连续分布的密度函数不唯一。