14.4. 其他条件下的中心极限定理

除了满足独立同分布的随机变量序列之外，其他类型的随机变量序列也可以满足中心极限定理。以下两个定理供学生课后自学。

林德伯格条件

假设一个随机变量序列 \(\{X_n\}\) ，其期望 \(E(X_i) = \mu_i\) 且方差 \(\text{Var}(X_i)=\sigma_i^2\) ， \(i=1,2,\cdots\) 。令 \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) ，且 \(B_n = \sigma(S_n) = \sqrt{\text{Var}(S_n)}\) 。 如果对于任意 \(\tau >0\) ，有

\[ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\tau^2 B_n} \sum_{i=1}^n \int_{|x-\mu_i| > \tau B_n} (x-\mu_i)^2 p_i(x)\text{d} x = 0. \]

那么称该随机变量序列满足林德伯格条件。

Remark

林德伯格条件保证了 \(S_n^{\ast} = B_n^{-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu_i)\) 中各加项“均匀地小”。

此外，还有其他中心极限定理，供同学们补充学习。

Theorem 14.3 (林德伯格中心极限定理)

设独立随机变量序列 \(\{X_n\}\) 满足林德伯格条件，则对任意的 \(x\) ，有

\[ \lim_{n\rightarrow \infty} P\left(\frac{1}{B_n} \sum_{i=1}^n (X_i-\mu_i) \leq x\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x} e^{-t^2/2}\text{d}t. \]

Theorem 14.4 (李雅普诺夫中心极限定理)

设 \(\{X_n\}\) 为独立随机变量序列，若存在 \(\delta >0\) ，满足

\[ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{B_{n}^{2+\delta}}\sum_{i=1}^n E\left( |X_i - \mu_i|^{2+\delta} \right) =0, \]

则对任意的 \(x\) ，有

\[ \lim_{n\rightarrow \infty} P\left(\frac{1}{B_n} \sum_{i=1}^n (X_i-\mu_i) \leq x\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x} e^{-t^2/2}\text{d}t. \]