8.8. 习题#
口袋中有 5 个白球，8 个黑球，从中不放回地一个接一个取出 3 个。如果第 i 次取出的是白球，则令 \(X_i = 1\) ，否则令 \(X_i = 0,i = 1,2,3\) 。 求：
\((X_1,X_2,X_3)\) 的联合分布列；
\((X_1,X_2)\) 的联合分布列。
设二维随机变量 \((X,Y)\) 的联合密度函数为
\[\begin{split}
p(x,y) = \left\{
\begin{aligned}
& 6(1-y), & 0 < x < y < 1,\\
&0, & \text{其他}.
\end{aligned}
\right.
\end{split}\]
求 \(P(X > 0.5,Y >0.5)\) ；找 \(p(x,y)\) 的非零区域与 \(\{x>0.5,y>0.5\}\) 的交集。
求 \(P(X < 0.5)\) 和 \(P(Y < 0.5)\) ；
求 \(P(X + Y < 1)\) 。
设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，其联合分布列如下，试求联合分布列中的 \(a,b,c\) 。
\[\begin{split}
P(X=x,Y=y) = \left\{
\begin{aligned}
& a, &x=x_1, y=y_1\\
& 1/9, &x=x_1,y=y_2\\
& c, &x=x_1,y=y_3\\
& 1/9 &x=x_2,y=y_1\\
& b, &x=x_2,y=y_2\\
& 1/3, &x = x_2,y=y_3
\end{aligned}
\right.
\end{split}\]
设二维随机变量 \((X,Y)\) 的联合密度函数为
\[\begin{split}
p(x,y) =
\begin{cases}
3x, & 0 \leq y < x \leq 1,\\
0, & \text{其他}.
\end{cases}
\end{split}\]
试求：
边际密度函数 \(p_X(x)\) 和 \(p_Y(y)\) ;
\(X\) 与 \(Y\) 是否独立？
在长为 \(a\) 的线段的中点的两边随机地各取一点，求两点间的距离小于 \(a/3\) 的概率。