9.2. 多维随机向量函数的数学期望

对一般多维随机向量函数的数学期望，我们可以类似于一维随机变量函数的数学期望定义。

Theorem 9.1

若多维随机变量 \(\boldsymbol{X}\) 的分布用联合分布列 \(P(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x})\) 或用联合密度函数 \(p(\boldsymbol{x})\) 表示，则 \(Z=g(\boldsymbol{X})\) 的数学期望为

\[\begin{split}E(Z)=\left\{ \begin{aligned} &\sum_{\boldsymbol{x}} g\left(\boldsymbol{x}\right) P\left(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x}\right), & \text{在离散场合} \\ &\int_{R^n} g(\boldsymbol{x}) p(\boldsymbol{x}) \text{d} \boldsymbol{x} , & \text{在连续场合} \end{aligned}\right.\end{split}\]

特别地，对于二维随机变量，我们定义其函数的期望如下。

Theorem 9.2

若二维随机变量 \((X,Y)\) 的分布用联合分布列 \(P(X=x_{i},Y=y_{j})\) 或用联合密度函数 \(p(x,y)\) 表示，则 \(Z=g(X,Y)\) 的数学期望为

\[\begin{split}E(Z)=\left\{ \begin{aligned} &\sum_{i} \sum_{j} g\left(x_{i}, y_{j}\right) P\left(X=x_{i}, Y=y_{j}\right), & \text{在离散场合} \\ &\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) p(x, y) \text{d} x \text{d} y,& \text{在连续场合} \end{aligned}\right.\end{split}\]

对于 \(X\) 和 \(Y\) 的期望与方差，我们都可以用一个统一的形式进行表示。

Remark

• 当 \(g(X,Y)=X\) 时， \(X\) 的数学期望为

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} E(X) &=&\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} x p(x ,y) \text{d} y \text{d} x \\ &=&\int_{-\infty}^{+\infty} x p_{X}(x) \text{d} x \end{eqnarray*} \end{split}\]

• 当 \(g(X,Y)=(X-EX)^{2}\) 时， \(X\) 的方差为

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} \text{Var}(X)&=&E(X-E X)^{2} \\ &=&\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}(x-E(X))^{2} p(x, y) \text{d} y \text{d}x \\ &=&\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E(X))^{2} p_{X}(x) \text{d} x \end{eqnarray*} \end{split}\]

• 当 \(g(X,Y)=Y\) 时， \(Y\) 的数学期望为

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} E(Y) &=&\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} y p(x ,y) \text{d} x \text{d} y \\ &=&\int_{-\infty}^{+\infty} y p_{Y}(y) \text{d} y \end{eqnarray*} \end{split}\]

• 当 \(g(X,Y)=(Y-EY)^{2}\) 时， \(Y\) 的方差为

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} \text{Var}(Y)&=&E(Y-E Y)^{2} \\ &=&\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}(y-E(Y))^{2} p(x, y) \text{d} y \text{d} x\\ &=&\int_{-\infty}^{+\infty}(y-E(Y))^{2} p_{Y}(y) \text{d} y \end{eqnarray*} \end{split}\]

Example 9.1

在长度为 \(a\) 的线段上任取两个点 \(X\) 与 \(Y\) ，求此两点间的平均长度。

Solution

因为 \(X\) 与 \(Y\) 均服从 \((0,a)\) 上的均匀分布且 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，所以 \((X,Y)\) 的联合密度函数为

\[\begin{split}p(x, y)=\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{a^{2}}&,0<x,y<a\\ &0&,\text{其他} \end{aligned}\right.\end{split}\]

两点间的平均长度为

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} E(|X-Y|) &=&\int_{0}^{a} \int_{0}^{a}|x-y| \cdot \frac{1}{a^{2}} \text{d} x \text{d} y=\frac{1}{a^{2}}\left(\int_{0}^{a} \int_{0}^{x}(x-y) \text{d} y \text{d} x+\int_{0}^{a} \int_{x}^{a}(y-x) \text{d} y \text{d} x\right) \\ &=&\frac{1}{a^{2}}\left(\int_{0}^{a} \left(x y-\left.\frac{1}{2} y^{2}\right)\right|_{0} ^{x} \text{d} x+\int_{0}^{a} \left(\frac{1}{2} y^{2}-\left.x y\right)\right|_{x} ^{a} \text{d} x\right) \\ &=&\frac{1}{a^{2}} \int_{0}^{a}\left(\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2} a^{2}-a x+\frac{1}{2} x^{2}\right) \text{d} x \\ &=&\frac{1}{a^{2}}\left(\frac{1}{2} a^{2} x-\frac{1}{2} a x^{2}+\left.\frac{1}{3} x^{3}\right|_{0} ^{a}\right) = \frac{1}{a^{2}}\left(\frac{1}{2} a^{3}-\frac{1}{2} a^{3}+\frac{1}{3} a^{3}\right)\\ &=&\frac{a}{3}. \end{eqnarray*} \end{split}\]

以下我们介绍一些期望和方差的性质。

Property 9.1

• 期望与求和可交换：设 \((X,Y)\) 是二维随机变量，则有

\[E(X+Y) = E(X) + E(Y).\]

Remark

\(n\) 个随机变量和的期望等于 \(n\) 个随机变量期望的和，即

\[ E\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i) \]

• 多个独立随机变量的期望与方差的简便计算公式。

• 若随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，则有

\[E(XY) = E(X)E(Y).\]

Proof

这里仅证明 \((X,Y)\) 为连续随机变量，离散随机变量的证明过程供学生课后自行完成。其密度函数为 \(p(x,y)\) 。因为 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，所以 \(p(x,y) = p_X(x)p_Y(y)\) 。令 \(g(X,Y) = XY\) ，则有

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} E(XY) &=& \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} xy p(x,y) \text{d}x \text{d}y\\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} xy p_X(x) p_Y(y) \text{d}x \text{d}y\\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} x p_X(x)\text{d}x \cdot\int_{-\infty}^{\infty} y p_Y(y) \text{d}y\\ &=& E(X) E(Y). \end{eqnarray*} \end{split}\]

Remark

若 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 相互独立，则有

\[ E\left(\prod_{i=1}^n X_i\right) = \prod_{i=1}^n E(X_i). \]

• 若随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，则有

\[ \text{Var}(X\pm Y) = Var(X) + Var(Y). \]

Proof

根据定义，

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} \text{Var} (X\pm Y) &=& E(X\pm Y - (E(X) \pm E(Y)))^2 = E((X - E(X))\pm (Y-E(Y)))^2\\ &=& E((X - E(X))^2 + (Y-E(Y))^2 \pm 2(X - E(X))(Y-E(Y)))\\ &=& E(X - E(X))^2 + E(Y-E(Y))^2 \pm 2E((X - E(X))(Y-E(Y)))\\ &=& E(X - E(X))^2 + E(Y-E(Y))^2\\ &=& \text{Var}(X)+\text{Var}(Y), \end{eqnarray*} \end{split}\]

最后一个等式成立是因为 \(E((X - E(X))(Y-E(Y))) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0\) .

Remark

• 若 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 相互独立，则有

\[ \text{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i). \]

• 若 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是独立同分布的随机变量，且方差存在， \(Var(X_1) = \sigma^2\) ，则其算术平均数的方差为

\[ \text{Var}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}. \]

Example 9.2

设一袋中装有 \(m\) 个颜色各不相同的球，每次从中任取一个，有放回地摸取 \(n\) 次，以 \(X\) 表示在 \(n\) 次摸球中摸到球的不同颜色的数目，求 \(E(X)\) 。

Solution

令 \(X_i\) 表示是否第 \(i\) 种颜色的球在 \(n\) 次摸球中至少被摸到一次，即

\[\begin{split} X_i = \left\{ \begin{aligned} & 1, & \text{摸到过,}\\ & 0, & \text{未摸到,} \end{aligned}\right.i=1,2,\cdots,m. \end{split}\]

于是，第 \(i\) 种颜色的球在 \(n\) 次摸球中未被摸到过的概率为

\[ P(X_i=0) = \left(1-\frac{1}{m} \right)^{n}. \]

令 \(X\) 为 \(n\) 次摸球中不同颜色的数目，则 \(X = \sum_{i=1}^m X_i\) 。于是，

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} E(X) &=& E\left(\sum_{i=1}^m X_i \right)\\ &=& \sum_{i=1}^m E(X_i)\\ &=& \sum_{i=1}^m P(X_i = 1)\\ &=& \sum_{i=1}^m \left(1-\left(1-\frac{1}{m} \right)^{n}\right)\\ &=& m \left(1-\left(1-\frac{1}{m}\right)^{n} \right). \end{eqnarray*} \end{split}\]