22.6. 习题#
设 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是来自 \(N(\mu,1)\) 的样本，考虑如下假设检验问题
若检验由拒绝域为 \(W = \{ \bar{x} \geq 2.6 \}\) 确定。
当 \(n=20\) 时求检验犯两类错误的概率；
如果要使得检验犯第二类错误的概率 \(\beta \leq 0.01\) ， \(n\) 最小应取多少？
证明：当 \(n\rightarrow \infty\) 时， \(\alpha \rightarrow 0\) ， \(\beta \rightarrow 0\) 。
设 \(x_1,x_2,\cdots,x_{20}\) 是来自 \(0-1\) 总体 \(b(1,p)\) 的样本，考虑如下检验问题：
取拒绝域为 \(W = \{ \sum_{i=1}^{20} x_i \geq 7 \text{或} \sum_{i=1}^{20} x_i \leq 1 \}\) ,
求 \(p = 0,0.1,0.2,\cdots,0.9,1\) 时的势并由此画出势函数的图；
求在 \(p = 0.05\) 时犯第二类错误的概率。
以下第 3 至第 7 题是应用题。答题要求：
[(1)] 在应用题中，需要分别采用临界值法和 \(p\) 值法；
[(2)] 无特殊指定，显著性水平为 \(\alpha = 0.05\) 。
化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量为 100kg，标准差为 1.2kg。某日开工后，为了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取 \(9\) 袋化肥，称得质量（单位:kg）如下：
设方差稳定不变，问这一天包装机的工作是否正常（取 \(\alpha = 0.05\) ）？
考察一鱼塘中的与的含汞量，随机地选取 10 条鱼，测得各条鱼的含汞量（单位：mg）为
设鱼的含汞量服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) 。试检验假设 \(H_0: \mu \leq 1.2\quad \text{vs}\quad H_1: \mu > 1.2\) （取 \(\alpha=0.1\) ）。
一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出需检验假设
此处， \(\mu_1,\mu_2\) 分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至开始起作用的时间间隔的总体的均值。设两总体均为正态分布且方差分别为已知值 \(\sigma_1^2,\sigma_2^2\) ，现分别在两总体中取一样本 \(x_1,\cdots,x_n\) 和 \(y_1,\cdots,y_m\) ，设两个样本独立。试给出上述假设检验问题的检验统计量，拒绝域，并给出 \(p\) 值的计算公式。
对冷却到 \(-0.72^{\circ}\) C 的样品用 A，B 两种测量方法测量其融化到 \(0^{\circ}\) C 时的潜热，数据如下：
假设它们服从正态分布，方差相等。在显著性水平 \(\alpha = 0.05\) 时，检验两种测量方法的平均性能是否相等？
为了比较测定活水中氯气含量的两种方法，特在各种场合收集到 8 个污水水样，每个水样均用这两种方法测定氯气含量（单位：mg/l），具体数据如下：
水样号 |
方法一（ \(x\) ） |
方法二（ \(y\) ） |
差（ \(d = x-y\) ） |
|---|---|---|---|
1 |
0.36 |
0.39 |
-0.03 |
2 |
1.35 |
0.84 |
0.51 |
3 |
2.56 |
1.76 |
0.80 |
4 |
3.92 |
3.35 |
0.57 |
5 |
5.35 |
4.69 |
0.66 |
6 |
8.33 |
7.70 |
0.63 |
7 |
10.70 |
10.52 |
0.18 |
8 |
10.91 |
10.92 |
-0.01 |
设总体为正态分布。试比较两种测定方法是否有显著差异。