23.1. 引导问题

Example 23.1 (回顾：女士品茶)

在女士品茶中，我们所考虑的原假设和备择假设分别为

\[ H_0: \theta \in \Theta_0 = \{0.5\} \quad \text{vs} \quad H_1: \theta \in \Theta_1 = \left\{ \theta > 0.5\right\}. \]

我们发现：女士在 10 杯的判断中都甄别正确，记为所关心的事件 \(A\) 。 在原假设成立时， \(P(A) = 1/1024\) ；而在备择假设成立时， \(P(A) = \theta^{10}\) 这个概率是不确定的，因为我们并不知道 \(\theta\) 的真实值。但是我们知道，这个概率是不会超过 1 的。于是，我们考虑以下比值

\[ \frac{\sup_{\theta\in \Theta_1} P(A)}{\sup_{\theta\in \Theta_0} P(A)} = \frac{1}{1/1024} = 1024 \]

这个比值非常大。这说明： \(\theta \in \Theta_1\) 的可能性要比 \(\theta \in \Theta_0\) 的可能性要大得多。所以，我们有理由认为 \(H_0\) 不成立。

根据这一思想，奈曼和 E·皮尔逊提出了一种名为似然比检验的检验方法。