4.3. 二项分布与二点分布#
在二项分布中，伯努利试验是一个重要的概念。
- 两个实验独立性
设有两个试验 \(E_1\) 和 \(E_2\) 。假如试验 \(E_1\) 的任一结果（事件）与试验 \(E_2\) 的任一结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立的。
\(n\) 个实验独立性
如果 \(E_1\) 的任一结果， \(E_2\) 的任一结果， \(\cdots\) ， \(E_n\) 的任一结果都是相互独立的事件，则称试验 \(E_1,E_2,\cdots,E_n\) 相互独立。
\(n\) 重独立重复试验
如果这 \(n\) 个独立试验还是相同的，则称为 \(n\) 重独立重复试验。
- 伯努利试验
如果在 \(n\) 重独立重复试验中，每次试验的可能结果有两个（ \(A\) 和 \(\overline{A}\) ），则称这种试验为 \(n\) 重伯努利试验。
Remark 4.3
\(n\) 次抛一枚硬币是一种典型的伯努利试验。
二项分布 :假定伯努利试验中成功（事件 \(A\) )概率为 \(p\) 。记 \(X\) 为 \(n\) 重伯努利试验中成功的次数，其分布列为：
\[
P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{(n-k)}, k=0,1,2,\cdots,n.
\]
称这个分布为二项分布。记 \(X\sim b(n,p)\) 。
- 二点分布
假定伯努利试验中成功（事件 \(A\) )概率为 \(p\) 。记 \(X\) 为一次伯努利试验中成功的次数，其分布列为：
\[\begin{split}
P(X=k) = p^k (1-p)^{(1-k)} = \left\{
\begin{aligned}
& p,& k=1\\
&1-p ,& k=0.
\end{aligned}\right., k=0,1.
\end{split}\]
称这个分布为二点分布（或伯努利分布）。记 \(X\sim b(1,p)\) 。
Remark 4.4
二项分布与二点分布之间的关系是很紧密的。
二点分布是二项分布的一种特例，即 \(n=1\) ；
服从二项分布的随机变量可分解为 \(n\) 个独立同为二点分布的随机变量之和，设 \(X\sim b(n,p)\) 且：
\[
X_i \overset{\text{i.i.d}}{\sim} b(1,p),i=1,2,\cdots,n
\]
于是有 \(X=\sum_{i=1}^n X_i\) 。