1.3. 概率公理化定义

事件域

设 \(\Omega\) 为一样本空间。 \(\mathcal{F}\) 为 \(\Omega\) 的某些子集所组成的集合。如果 \(\mathcal{F}\) 满足以下条件：

• \(\Omega \in \mathcal{F}\) ；

• 若 \(A \in \mathcal{F}\) ，则 \(\overline{A} \in \mathcal{F}\) ；

• 若 \(A_{n} \in \mathcal{F} ,n=1,2,\dots\) ，则可列并 \(\bigcup_{i=1}^{\infty } A_{i} \in \mathcal{F}\) 。

那么，称 \(\mathcal{F}\) 为样本空间 \(\Omega\) 的一个事件域，又称为 \(\sigma\) 域或 \(\sigma\) 代数。

Example 1.3 (事件域)

在抛硬币的场景中，硬币正面朝上记为1，硬币反面朝上记为0。则样本空间为 \(\Omega = \{0,1\}\) 。令

\[ \mathcal{F} = \{\emptyset, \{0\},\{1\} , \Omega \} \]

是样本空间 \(\Omega\) 的一个事件域。

概率

设 \(\Omega\) 的一个样本空间，且 \(\mathcal{F}\) 为 \(\Omega\) 的一个事件域。如果对任一事件 \(A \in \mathcal{F}\) ，定义在 \(\mathcal{F}\) 上的一个实值函数 \(P(A)\) 满足以下条件：

• 非负性公理：若 \(A \in \mathcal{F}\) ，则 \(P(A)\geq 0\) ；

• 正则性公理： \(P(\Omega)=1\) ；

• 可列可加性公理：若 \(A_{1} ,A_{2} ,\dots ,A_{n} ,\dots\) 互不相容，则

\[ P \left(\bigcup_{i=1}^{\infty }A_{i} \right)=\sum_{i=1}^{\infty } P(A_{i} ) \]

则称 \(P(A)\) 为事件 \(A\) 的概率，称三元素 \(\{\Omega,\mathcal{F},P\}\) 为概率空间。

Remark 1.1

• 概率的公理化定义是由俄国数学家柯尔莫格罗夫提出的；

• 概率的公理化定义没有告诉我们如何确定概率。