18.4. 习题

• 设 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是来自几何分布

\[P(X=x) = \theta(1-\theta)^{x}\]

的样本，证明 \(T = \sum_{i=1}^n x_i\) 是充分统计量。

• 设 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 来自以下分布的样本，试给出充分统计量。

• 均匀分布 \(U(0,\theta)\) ；

• 均匀分布 \(U(\theta_1,\theta_2)\) 。

• 设 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是来自正态总体 \(N(\mu,\sigma^2_1)\) 的样本， \(y_1,y_2,\cdots,y_m\) 是来自于另一正态总体 \(N(\mu,\sigma^2_2)\) 的样本，这两个样本相互独立，试给出 \((\mu,\sigma_1^2,\sigma_2^2)\) 的充分统计量。

• 设 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是来自帕累托（Pareto）分布

\[ p(x;\theta) = \theta \cdot a^{\theta} x^{-(\theta+1)}, x>a, \theta>0 \]

的样本（ \(a>0\) 已知），试给出一个充分统计量。