12.3. 按分布收敛

在学习泊松分布时，泊松分布是二项分布的一种近似，见定理 Theorem 4.4 。若设 \(X_n \sim b(n,p_n)\) ，其分布函数为 \(F_n(x)\) ，且 \(X \sim P(\lambda)\) ， \(p=\lim_{n\rightarrow} np_n\) ，其分布函数为 \(F(x)\) 。 对于分布函数序列 \(\{F_n(x)\}\) ，根据泊松定理可知，当 \(n\) 充分大时，其收敛到一个极限分布函数 \(F(x)\) 。

Question

如何定义分布函数序列 \({F_n(x)}\) 的收敛性?

一个很自然的想法是——对于任意的 \(x\in R\) ，当 \(n\rightarrow +\infty\) 时，有

\[ F_n(x) \rightarrow F(x). \]

这也就是“点点收敛”，但是这个要求过于严格了。以下例子正好说明了这个问题。

Example 12.4

我们考虑以下随机变量序列 \(\{X_n\}\) 的分布列，即

\[P\left(X_{n}=\frac{1}{n}\right)=1 \quad n=1.2, \cdots.\]

于是，其分布函数为

\[\begin{split}F_{n}(x)=\left\{\begin{aligned} &0,& x<\frac{1}{n}, \\ &1,& x \geqslant \frac{1}{n}. \end{aligned}\right.\end{split}\]

那么，对于任意的 \(x\) ， \(F_n(x)\) 的极限函数为

\[\begin{split} g(x)=\left\{\begin{aligned} &0, & x \leq 0, \\ &1, & x>0. \end{aligned}\right.\end{split}\]

然而，我们发现 \(g(x)\) 并不满足右连续性，所以， \(g(x)\) 不是一个随机变量的分布函数。由此，随机变量序列的分布函数的极限不是一个随机变量的分布函数，这是不合理的。 我们发现，随机变量 \(X_n\) 的分布函数 \(F_n(x)\) 是在点 \(x_0=\frac{1}{n}\) 处有跳跃点。当 \(n \rightarrow +\infty\) 时，跳跃点 \(x_0 \rightarrow 0\) 。可以证明

\[\begin{split} F(x)=\left\{\begin{aligned} &0, & x<0 \\ &1, & x \geqslant 0 \end{aligned}\right. \end{split}\]

是一个随机变量的分布函数。对于任意的 \(x \in (-\infty,0)\cup (0,+\infty)\) ，有 \(\lim_{n\rightarrow +\infty} F_n(x) = F(x)\) 。但在 \(x=0\) 处，

\[\lim _{n \rightarrow \infty} F_{n}(0)=0 \neq 1=F_{n}(0).\]

Remark

在上面的例子中，分布函数的收敛性不成立的点 \(x=0\) 恰好是 \(F(x)\) 的间断点（或跳跃点）。我们在定义分布函数的收敛性仅需要考虑 \(F(x)\) 的连续点。

设随机变量 \(X, X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots\) 的分布函数分别为 \(F(x),F_1(x),F_2(x),\cdots,F_n(x),\cdots\) 。若对 \(F(x)\) 的任意连续点 \(x\) ，都有

\[\lim _{n \rightarrow \infty} F_{n}(x)=F_{(x)}.\]

则称 \(F_n(x)\) 弱收敛与 \(F(x)\) ,记作

\[F_{n}(x) \stackrel{\omega}{\longrightarrow} F(x).\]

也称相应的随机变量序列 \({X_n}\) 按分布收敛于 \(X\) ,

\[X_{n} \stackrel{L}{\longrightarrow} X.\]

如果 \(F(x)\) 是连续函数，那么弱收敛就点点收敛。

Property 12.2

• \(X_{n} \stackrel{P}{\rightarrow} X \Rightarrow X_{n} \stackrel{L}{\rightarrow} X\) ；

• 如果 \(c\) 是一个常数，那么 \(X_{n} \stackrel{P}{\rightarrow} c \Leftrightarrow X_{n} \stackrel{L}{\rightarrow} c\) 。