6.1. 引导问题：期望的来源#
Example 6.1 (分赌本问题)
甲、乙两人赌技不相上下。两人进行赌博，各出赌注50法郎，每局中无平局。他们约定：谁先赢三局，则赢得全部赌本 \(100\) 法郎。当甲赢了二局，乙赢了一局，因故要中止赌博。现问这 \(100\) 法郎如何分才算公平？
甲得 \(\frac{2}{3}\) ,乙得 \(\frac{1}{3}\)
这个方案看似是合理的。但是，如果甲赢了一局，乙赢了零局，那么这种分法的结果是：甲得 \(100\) 法郎，乙得 \(0\) 法郎，这样是否合理？
设想再赌下去，则甲最终所得 \(X\) 为一个随机变量，其可能取值为 \(0\) 或 \(100\)，再赌两局必可结束。接下来两局的结果为 \(\{\text{甲甲, 甲乙, 乙甲, 乙乙}\}\) 。这四种情况中有三种情况：甲赢了 \(100\) 法郎。只有一种情况：乙赢下 \(100\) 法郎，因为两人赌技不相上下，所以，在两局后甲的收益是一个随机变量，其分布列为：
\(X\)
100
0
\(P\)
\(\frac{3}{4}\)
\(\frac{1}{4}\)
于是，甲的“期望”收益应为
\[ 100\times \frac{3}{4} + 0 \times \frac{1}{4} = 75 \text{ （法郎）} \]相应地，乙的“期望”收益应为 \(25\)（法郎）。