8.6. 随机变量的独立性#
Question
请同学们回顾一下 \(n\) 个随机事件相互独立是如何定义的？
- 独立性
设 \(n\) 维随机变量 \(\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)'\) 的联合分布函数 \(F(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})\) ， \(F_{i}\left(x_{i}\right)\) 为 \(X_{i}\) 的边际分布函数。如果对任意 \(n\) 个实数 \(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\) 有
\[F\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\prod_{i=1}^{n} F_{i}(x_{i})\]
则称 \(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\) 相互独立。
在离散随机变量场合，如果对其任意 \(n\) 个取值 \(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\) 有
\[P\left(X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \ldots, X_{n}=x_{n}\right)=\prod_{i=1}^{n} P\left(X_{i}=x_{i}\right)\]
则称 \(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\) 相互独立。
在连续随机变量场合，如果对其任意 \(n\) 个实数 \(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n},\) 有
\[p\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\prod_{i=1}^{n} p_{i}\left(x_{i}\right)\]
则称 \(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\) 相互独立。
Example 8.6
若二维随机变量 \((X,Y)\) 的联合密度函数为
\[\begin{split}
p(x,y) = \left\{
\begin{aligned}
& 8xy, & 0\leq x \leq y \leq 1 \\
& 0, & \text{其他}
\end{aligned}
\right.
\end{split}\]
问 \(X\) 和 \(Y\) 是否相互独立？
Solution
我们需要求出 \(X\) 和 \(Y\) 的边际密度函数。因为 \(X\) 的边际密度函数为
\[
p_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x,y)\text{d}y = \int_{x}^{1} 8xy \text{d}y = 4x(1-x^2), 0<x<1.
\]
而 \(Y\) 的边际密度函数为
\[
p_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x,y)\text{d}x = \int_{0}^{y} 8xy \text{d}y = 4y^3, 0<y<1.
\]
因为 \((X,Y)\) 联合密度函数不等于 \(X\) 和 \(Y\) 边际密度函数的乘积，所以 \(X\) 和 \(Y\) 不独立。
Question
为什么我们常常假定变量是满足独立性？