24.1. 引导问题

Example 24.1

某工厂生产了一种产品，想要知道该产品的合格率 \(\theta\) 。为了估计参数 \(\theta\) ，我们从工厂生产的产品中进行了抽样，样本为 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 。一个很自然的估计为

\[ \hat{\theta} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i. \]

这个估计既是矩估计，又是最大似然估计。 如果这一天抽出的所有样本均是合格品，那么 \(\theta\) 的估计为 \(\hat{\theta} = 1\) 。

Question

我们能够认为产品的合格率为 \(100\%\) 吗？ 如果样本量 \(n\) 比较小，而且产品真实的合格率比较高。很有可能抽中合格品，于是这样仅仅通过数据来推断，是否合理？