8.4. 边际分布函数#
- 边际分布函数
如果二维随机变量 \((X,Y)\) 的联合分布函数为 \(F(x,y)\) ，那么，称
\[F_X(x) = P(X\leq x) = P(X\leq x, Y< \infty) = \lim_{y\rightarrow \infty} F(x,y)\]
为 \(X\) 的边际分布。 类似地，称
\[
F_Y(y) = F(\infty,y)
\]
为 \(Y\) 的边际分布。
Example 8.3
设二维随机变量 \((X,Y)\) 的联合分布函数为
\[\begin{split}
F(x,y) = \left\{
\begin{aligned}
&1-e^{-x} - e^{-y} + e^{-x-y-\lambda xy}, &x>0,y>0.\\
&0, &\text{其他}.
\end{aligned}
\right.
\end{split}\]
这个分布被称为二维指数分布，其中参数 \(\lambda>0\) 。求 \(X\) 的边际分布函数。
Solution
\(X\) 的边际分布函数为
\[\begin{split}
\begin{eqnarray*}
F_{X}(x) = \lim_{y\rightarrow\infty} F(x,y) = \left\{
\begin{aligned}
& 1 - e^{-x}, & x>0,\\
& 0 , & \text{其他}.
\end{aligned}
\right.
\end{eqnarray*}
\end{split}\]
学生课后可以自行求 \(Y\) 的边际分布函数。