21.1. 区间估计的概念

设 \(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\) 是样本。我们想要找到两个统计量 \(\hat{\theta}_{L}=\hat{\theta}_{L}(x_{1},\cdots,x_{n})\) 和 \(\hat{\theta}_{U}=\hat{\theta}_{U}(x_{1},\cdots,x_{n})\) ， \(\hat{\theta}_{L}<\hat{\theta}_{U}\) 。于是，所构造的一个区间 \([\hat{\theta}_{L},\hat{\theta}_{U}]\) 为 \(\theta\) 的一个区间估计。

Question

一个合适的区间估计应该有什么要求？

因为样本具有随机性，所以， \(\left[ \hat{\theta}_{L},\hat{\theta}_{U} \right]\) 是一个随机区间。但待估参数 \(\theta\) 是一个未知常数。我们通常要求区间 \(\left[ \hat{\theta}_{L},\hat{\theta}_{U} \right]\) 盖住 \(\theta\) 的概率

\[ P(\hat{\theta}_{L}\leq \theta\leq \hat{\theta}_{U})=P\left ( \left \{ \hat{\theta}_{L}\le \theta \right \}\cap \left \{ \hat{\theta}_{U}\le \theta \right \} \right ) \]

尽可能大。

置信区间

设 \(\theta\) 是总体的一个参数，其参数空间为 \(\Theta\) ， \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是来自该总体的样本，对给定的一个 \(\alpha(0<\alpha<1)\) ，假设有两个统计量 \(\hat{\theta}_L = \hat{\theta}_L(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 和 \(\hat{\theta}_U = \hat{\theta}_U(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) ，若对任意的 \(\theta \in \Theta\) ，有

\[ P(\hat{\theta}_{L}\le \theta\le \hat{\theta}_{U}) \geq 1-\alpha \]

则称随机区间 \(\left[ \hat{\theta}_{L},\hat{\theta}_{U} \right]\) 为 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的置信区间，或简称 \(\left[ \hat{\theta}_{L},\hat{\theta}_{U} \right]\) 是 \(\theta\) 的 \(1-\alpha\) 置信区间， \(\hat{\theta}_{L}\) 和 \(\hat{\theta}_{U}\) 分别称为 \(\theta\) 的（双侧）置信下限和置信上限。

Remark

• 若对给定的 \(\alpha(0<\alpha<1)\) ，对任意的 \(\theta \in \Theta\) ，有

\[ P(\hat{\theta}_{L}\le \theta\le \hat{\theta}_{U}) = 1-\alpha \]

则称 \(\left[ \hat{\theta}_{L},\hat{\theta}_{u} \right]\) 是 \(\theta\) 的 \(1-\alpha\) 同等置信区间；

• 若对给定的 \(\alpha(0<\alpha<1)\) ，对任意的 \(\theta \in \Theta\) ，有

\[ P(\hat{\theta}_{L}\le \theta) \geq 1-\alpha \]

则称 \(\hat{\theta}_{L}\) 为 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的（单侧）置信下限；

• 若对给定的 \(\alpha(0<\alpha<1)\) ，对任意的 \(\theta \in \Theta\) ，有

\[ P(\hat{\theta}_{L}\le \theta) = 1-\alpha \]

则称 \(\hat{\theta}_{L}\) 为 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的（单侧）同等置信下限；

• 若对给定的 \(\alpha(0<\alpha<1)\) ，对任意的 \(\theta \in \Theta\) ，有

\[ P(\theta\leq \hat{\theta}_{U}) \geq 1-\alpha \]

则称 \(\hat{\theta}_{U}\) 为 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的（单侧）置信上限；

• 若对给定的 \(\alpha(0<\alpha<1)\) ，对任意的 \(\theta \in \Theta\) ，有

\[ P(\theta\leq \hat{\theta}_{U}) = 1-\alpha \]

则称 \(\hat{\theta}_{U}\) 为 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的（单侧）同等置信上限；