22.1. 引导案例#
Example 22.1 (女士品茶)
在 20 世纪初期，英国人在午后会吃下午茶。在下午茶中，奶茶是一种常见的饮品。简单来说，奶茶是由茶和奶混合而成的。某位女士声称，她能够品尝得出这杯奶茶是先加奶，还是先加茶。前者记为“MT”，后者记为“TM”。为了确定这位女士的确具有这种“分辨能力”，R. A. Fisher 在这个问题中提出了一种实验方案：他请侍者制作了 10 杯奶茶，可能是 MT，也可能是 TM，请这位女士进行品尝，并让女士对每一杯奶茶进行甄别。令 \(X\) 表示该女士甄别正确的数量。如何度量出女士是否具有真实的分辨能力？ 这里， \(X\) 可以看作一个二项分布 \(b(10,p)\) 随机变量，用 \(p\) 来度量这位女士是否具有分辨能力。考虑一下两种情况：
如果女士没有甄别能力，甄别正确和甄别错误时等可能的，那么 \(p=0.5\) 。
如果女士有甄别能力，当然她仍可能犯错，那么 \(0.5<p\leq 1\) 。
如果女士在 10 杯的判断中都甄别正确，那么这个事件发生的可能性为
如何来看待这个概率值？
解释一：这个女士是无这种能力的， 则 \(p=0.5\) 。但 \(P(X=10) = {0.5}^{10} = (1024)^{-1} \approx 0.001\) ，说明：这位女士今天超常发挥。
解释二：这个女士是有这种能力的，则 \(0.5<p\leq1\) 。这个情况下， \(P(X=10) = p^{10}\) ，说明：这个女士今天是正常发挥。
对于这两种解释，我们通常认为：无法否决解释一，但更倾向于接受解释二。这是因为解释一出现的概率太小了。
Remark
假设检验的根本思想是：在任何假设下，小概率事件通常是不可能发生的；一旦这个小概率事件发生，则所提出的假设不应该被接受。