8.3. 随机向量的联合分布函数#
- 随机向量的联合分布函数
对任意 \(n\) 个实数 \(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\) ， \(n\) 个事件 \(\left\{X_{1} \leqslant x_{1}\right\},\left\{X_{2} \leqslant x_{2}\right\},...,\left\{X_{n} \leqslant x_{n}\right\}\) 同时发生的概率
\[\begin{split}
\begin{eqnarray*}
F\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)&=&P\left( \{X_{1} \leqslant x_{1}\} \cap \{X_{2} \leqslant x_{2}\}\cap \cdots\cap \{X_{n} \leqslant x_{n}\}\right)\\
&=& P\left(X_{1} \leq x_1, X_2 \leq x_2,\cdots,X_n \leq x_{n}\right)
\end{eqnarray*}
\end{split}\]
称为 \(n\) 维随机向量 \(\boldsymbol{X}\) 的联合分布函数。
Remark
对于二维随机向量 \((X,Y)'\) ，其联合分布函数为
\[
F(x,y) = P(X\leq x, Y\leq y)
\]
Theorem 8.1 (二维随机变量联合分布函数的性质)
任一二维联合分布函数 \(F(x,y)\) 必具有如下性质:
单调性： \(F(x,y)\) 分别对 \(x\) 或 \(y\) 是单调非减的，即 当 \(x_{1}<x_{2}\) 时，有
\[F\left(x_{1}, y\right) \leq F\left(x_{2}, y\right);\]
当 \(y_{1}<y_{2}\) 时，有
\[F\left(x, y_{1}\right) \leq F\left(x, y_{2}\right).\]
有界性:对任意的 \(x\) 和 y，有 \(0 \leqslant F(x, y) \leqslant 1\) 且
\[\begin{split}
\begin{eqnarray*}
F(-\infty, y)&=&\lim _{x \rightarrow-\infty} F(x, y)=0, \\
F(x,-\infty)&=&\lim _{y \rightarrow-\infty} F(x, y)=0, \\
F(\infty, \infty)&=&\lim _{x, y \rightarrow \infty} F(x, y)=1.
\end{eqnarray*}
\end{split}\]
右连续性：对每个变量都是右连续的，即
\[\begin{split}
\begin{eqnarray*}
F(x+0, y)&=&F(x, y) \\
F(x, y+0)&=&F(x, y)
\end{eqnarray*}
\end{split}\]
非负性：对任意的 \(a<b,c<d\) 有
\[
\begin{eqnarray*}
P(a<X \leq b, c<Y \leqslant d) &=&F(b, d)-F(a, d)-F(b, c)+F(a, c) \geqslant 0
\end{eqnarray*}
\]
Remark
具有以上四条性质的二元函数 \(F(x,y)\) 一定是某个二维随机变量的分布函数。
性质(4)是二维随机向量所特有的，也是合理的，但性质(4)不能由前三条性质推出，因此需要单独列出。
Example 8.2
设二元函数为
\[\begin{split}G(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
0 & x+y<0 \\
1 & x+y \geqslant 0
\end{array}\right. \end{split}\]
可以证明其满足前三个性质（这里留给学生课后完成），但该函数不满足性质 4。考虑在 \((-1,-1),(1,-1),(-1,1),(1,1)\) 所围成的正方形上的面积。