7.3. 连续随机变量函数的分布

7.3.1. \(g(X)\) 是一个离散型随机变量

倘若 \(Y=g(X)\) 是一个离散型随机变量，我们只需要将 \(Y\) 的所有可能取值一一列出，在球 \(Y\) 的取各个可能值的概率。

Example 7.2

若 \(X\) 服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) ，则

\[\begin{split} Y=\left\{\begin{matrix} 0&,X<\mu \\ 1&,X\ge \mu \end{matrix}\right. \end{split}\]

那么， \(Y\) 服从二点分布 \(b(1,0.5)\) 。

7.3.2. \(g(\cdot)\) 是严格单调函数

当 \(g(x)\) 是一个关于 \(x\) 的严格单调函数，我们有以下定理。

Theorem 7.1

设 \(X\) 是连续随机变量，其密度函数为 \(p_{X}(x)\) 。 \(Y=g(X)\) 是另一个连续随机变量。若 \(y=g(x)\) 严格单调，其反函数 \(h(y)\) 有连续导函数，则 \(Y=g(X)\) 的密度函数为

\[\begin{split}p_{Y}(y)=\left\{\begin{aligned} p_{X}\left [ h(y) \right ]\left | h'(y) \right | &,a<y<b \\ 0&,\text{其他}\end{aligned}\right.\end{split}\]

其中， \(a=\min\left \{ g(-\infty ),g(+\infty ) \right \} ,b=\max\left \{ g(-\infty ),g(+\infty ) \right \}\)

Proof

不妨设 \(g(x)\) 是一个严格单调增函数，这时它的反函数 \(h(y)\) 也是严格单调增函数，且 \(h'(y)>0\) 。 首先，考虑 \(Y\) 的取值范围。记 \(a = \min\{g(-\infty),g(\infty)\}\) ， \(b = \max\{g(-\infty),g(\infty)\}\) 。于是， \(Y=g(X)\) 仅在区间 \((a,b)\) 取值。 其次，考虑 \(Y\) 的分布函数和密度函数。

• 若 \(y\leq a\) ，那么 \(P(Y\leq y) = 0\) ，则 \(p_Y(y) = 0\) ；

• 若 \(y\geq b\) ，那么 \(P(Y\leq y) = 1\) ，则 \(p_Y(y) = 0\) ；

• 若 \(a< y<b\) ，那么 \(Y\) 的分布函数为

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} F_Y(y) &=& P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y ) \\ &=& P(h(g(X)) \leq h(y)) \\ &=& P(X \leq h(y)) \\ &=& \int_{a}^{h(y)} p_X(x) \text{d}x \end{eqnarray*} \end{split}\]

\(Y\) 的密度函数为

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} p_Y(y) &=& \frac{\text{d} }{\text{d} y} F(y)= \frac{\text{d} }{\text{d} y} P(Y\leq y) \\ &=& \frac{\text{d} }{\text{d} y}\int_{a}^{h(y)} p_X(x) \text{d}x \\ &=& p_X(h(y)) \cdot h'(y). \end{eqnarray*} \end{split}\]

类似地，因为 \(g(x)\) 是严格单调减函数，其反函数 \(h(y)\) 也是严格单调减函数，所以 \(h'(y)<0\) 。因此，结论中 \(h'(y)\) 需要绝对值符号。

Example 7.3

设随机变量 \(X\) 服从正态分布 \(N(\mu ,\sigma^{2})\) ，则当 \(a \neq 0\) 时，有 \(Y=aX+b\sim N(a\mu+b,a^{2}\sigma^{2})\) .

Solution

• 若 \(a>0\) ， \(y=g(x)=ax+b\) 是严格增函数。仍在 \((-\infty,+\infty)\) 上取值，其反函数 \(x=h(y)=\frac{y-b}{a}\) 。由上述定理可知，

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} p_{Y}(y)&=&p_{X}\left ( h(y) \right )\left | h'(y) \right | \\ &=&\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}} } \exp\left\{-\frac{1}{2\sigma ^{2}}(\frac{y-b}{a} -\mu)^{2} \right\}\cdot \frac{1}{a} \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi (a\sigma )^{2}} } \exp\left\{-\frac{1}{2(a\sigma) ^{2}}(y-a\mu-b)^{2} \right\}. \end{eqnarray*} \end{split}\]

因此， \(Y\sim N((a\mu+b,a^{2}\sigma^{2})\) 。

• 若 \(a<0\) ，证明结果类似，学生可以在课后进行补充。

Example 7.4

设随机变量 \(X\sim N(\mu,\sigma^{2})\) ，则 \(Y=e^{X}\) 的概率密度函数为

\[\begin{split}p_{Y}(y)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} y \sigma} e ^{ -\frac{(\ln y-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}} } &, \quad y>0 \\ 0&, \quad y \leqslant 0 \end{matrix}\right.\end{split}\]

Solution

因为 \(y=g(x)=e^{x}\) 是严格单调递增函数，它仅在 \((0,+\infty)\) 上取值，其反函数 \(x=h(y)=lny\)，而 \(h'(y)=\frac{1}{y}\)，根据定理可知，

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} p_{Y}(y)&=&p_{X}\left ( h(y) \right )\left | h'(y) \right | \\ &=&\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}} } \exp\left\{-\frac{1}{2\sigma ^{2}}(lny -\mu)^{2} \right\}\cdot \frac{1}{y} \\ &=&\frac{1}{\sqrt{2\pi }y\sigma } \exp\left\{-\frac{1}{2\sigma ^{2}}(lny -\mu)^{2} \right\} \end{eqnarray*} \end{split}\]

Remark

这个分布称为对数正态分布 \(\omega \left(\mu, \sigma^{2}\right)\) 。

Example 7.5

设 \(X\sim Ga(\alpha,r)\) ，则当 \(k>0\) 时，有 \(Y=kX\sim Ga(\alpha,\frac{r}{k})\) 。

Solution

因为 \(k>0\) ，所以 \(y=kx\) 是严格增函数，它仍在 \((0,+\infty)\) 上取值，其反函数 \(x=\frac{y}{k}\) 。

• 当 \(y<0\) 时， \(p_{Y}(y)=0\) ；

• 当 \(y\ge0\) 时，我们根据上述定理有

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} p_{Y}(y)&=&p_{X}\left(\frac{y}{k}\right) \cdot \frac{1}{k} \\ &=&\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\left(\frac{y}{k}\right)^{\alpha-1} e^{-\lambda \frac{y}{k}} \cdot \frac{1}{k} \\ &=&\frac{\left(\frac{\lambda}{k}\right)^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} y^{\alpha-1} e^{-\frac{\lambda}{k} y} \end{eqnarray*} \end{split}\]

即 \(Y\sim Ga(\alpha,\frac{\lambda}{k})\) 。

Corollary 7.1

若随机变量 \(X\) 的分布函数 \(F_{X}(x)\) 为严格单调增的连续函数，其反函数 \(F_{X}^{-1}(y)\) 存在，则 \(Y=F_{X}(X)\) 服从 \((0,1)\) 上的均匀分布 \(U(0,1)\) 。

Proof

首先注意到 \(Y=F_{X}(X)\) 是一个随机变量，于是，我们需要求其分布函数。由于根据分布函数的有界性，分布函数 \(F_{X}(x)\) 仅在 \([0,1]\) 区间上取值，故当 \(y<0\) 时，因为 \(\left \{ F_{X}(X)\leq y \right \}\) 是不可能事件，所以

\[F_{Y}(y)=P(Y \leqslant y)=P\left(F_{X}(X) \leqslant y\right)=0\]

当 \(y\geq 1\) 时，因为 \(\left \{ F_{X}(X)\le y \right \}\) 是必然事件，所以

\[F_{Y}(y)=P(Y \leqslant y)=P\left(F_{X}(X) \leqslant y\right)=1.\]

当 \(0\leq y<1\) 时，有

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} F_{Y}(y) &=&P(Y \leqslant y) \\ &=&P\left(F_{X}(X) \leqslant y\right) \\ &=&P\left(F_{X}^{-1}\left(F_{X}(X)\right) \leqslant F_{X}^{-1}(y)\right) \\ &=&P\left(X \leqslant F_{X}^{-1}(y)\right) \\ &=&F_{X}\left(F_{X}^{-1}(y)\right) \\ &=&y \end{eqnarray*} \end{split}\]

综上所述， \(Y=F_{X}(X)\) 的分布函数为

\[\begin{split}F_{Y}(y)=\left\{ \begin{aligned} & 0 &,y<0 \\ & y &,0 \leq y<1 \\ & 1 &,y \geqslant 1 \end{aligned}\right.\end{split}\]

因此， \(Y\sim U(0,1)\) 。

Remark

• 任一个连续随机变量 \(X\) 都可通过其分布函数 \(F(x)\) 与均匀分布随机变量 \(U\) 有关联。

• \(X\sim {Exp}(\lambda)\) ，其分布函数 \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\) 。于是，

\[U=1-e^{-\lambda x} \Rightarrow x=\frac{1}{\lambda} \ln \frac{1}{1-u}.\]

这表明了由均匀分布 \(U(0,1)\) 的随机数 \(u_{i}\) 可得指数分布 \({Exp}(\lambda)\) 的随机数

\[x_{i}=\frac{1}{\lambda} \cdot \ln \frac{1}{1-u_{i}} \quad i=1,2, \cdots, n, \cdots,\]

这是 Monte Carlo 法的基础。

7.3.3. \(g(\cdot)\) 是其他特殊形式

Example 7.6

\(X\sim N(0,1)\) ，求 \(Y=X^{2}\) 的密度函数。

Solution

先求 \(Y\) 的分布函数 \(F_{Y}(y)\) 。由于 \(Y=X^{2}\ge 0\) ，故当 \(y\leq 0\) 时，有 \(F_{Y}(y)=0\) ，从而 \(P_{Y}(y)=0\) . 当 \(y>0\) 时，有

\[F_{Y}(y)=P(Y \leqslant y)=P\left(X^{2} \leqslant y\right)=P(-\sqrt{y} \leqslant X \leqslant \sqrt{y})=2 \Phi(\sqrt{y})-1\]

因此， \(Y\) 的分布函数为

\[\begin{split}F_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{cc} 2 \Phi(\sqrt{y})-1 & ,y>0 \\ 0 & , y \leq 0 \end{array}\right.\end{split}\]

再用求导的方式求出 \(Y\) 的密度函数

\[\begin{split}p_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{cc} \varphi(\sqrt{y}) \cdot y^{-\frac{1}{2}} & ,y>0 \\ 0 & , y \leqslant 0 \end{array}=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} y^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{y}{2}} & ,y>0 \\ 0 & ,y \leqslant 0 \end{array}\right.\right.\end{split}\]

称 \(Y\) 服从自由度为 \(1\) 的卡方分布，记 \(\chi ^{2}(1)\) 。

Remark

可以发现，这个分布也是伽马分布，即 \(Ga(\frac{n}{2},\frac{1}{2})=\chi ^{2}(n)\) 。