7.4. 习题#
已知随机变量 \(X\) 的密度函数为
\[
p(x) = \frac{2}{\pi}\cdot \frac{1}{e^x+e^{-x}}, -\infty < x < +\infty
\]
试求随机变量 \(Y = g(X)\) 的概率分布，其中
\[\begin{split}
g(x) = \left.
\begin{cases}
-1, & \text{当 } x < 0,\\
1, & \text{当 } x \geq 0 .
\end{cases}
\right.
\end{split}\]
设圆的直径服从区间 \((0,1)\) 上的均匀分布。求圆的面积的密度函数。
设随机变量 \(X\) 的密度函数为
\[\begin{split}p_X(x) =\left\{
\begin{aligned}
\frac{3}{2}x^2, & -1 < x < 1,\\
0, & \text{其他}.
\end{aligned}
\right.
\end{split}\]
试求下列随机变量的分布：
\(Y_1 = 3X\) ；
\(Y_2 = 3-X\) ；
\(Y_3 = X^2\) 。
设 \(X\) 为随机变量，其取值范围为 0 到 9，取值概率相等均为 1/10。
求随机变量 \(Y = X\) mod \((3)\) 的分布列；
求随机变量 \(Y = 5\) mod \((X+1)\) 的分布列。