20.5. 习题

• 设 \(\hat{\theta}\) 是参数 \(\theta\) 的无偏估计，且有 \(\text{Var}(\hat{\theta})>0\) ，试证 \(\left(\hat{\theta}\right)^2\) 不是 \(\theta^2\) 的无偏估计。

• 设 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是来自于下列总体的简单样本

\[\begin{split} p(x;\theta) = \left\{ \begin{aligned} & 1, &\theta - \frac{1}{2} \leq x\leq \theta + \frac{1}{2},\\ & 0, &\text{其他}, \end{aligned}\right. \end{split}\]

证明样本均值 \(\bar{x}\) 及 \(\frac{1}{2}(x_{(1)}+x_{(n)})\) 都是 \(\theta\) 的无偏估计，问哪一个更为有效？（提示：从充分性原则来具体分析一下这个结论。）

• 设从均值为 \(\mu\) ，方差为 \(\sigma^2>0\) 的总体中分布抽取容量为 \(n_1\) 和 \(n_2\) 的两独立样本， \(\bar{x}_1\) 和 \(\bar{x}_2\) 是这两个样本的均值。试证，对于任意常数 \(a,b (a+b=1)\) ， \(Y = a\bar{x}_1 + b\bar{x}_2\) 都是 \(\mu\) 的无偏估计，并确定常数 \(a,b\) 使得 \(\text{Var}(Y)\) 达到最小。

• 设总体密度函数为

\[p(x;\theta) = \theta x^{\theta - 1}, 0<x<1,\theta > 0.\]

\(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是样本。求 \(g(\theta) = 1/\theta\) 的最大似然估计。

• 设总体 \(X\sim Exp(1/\theta)\) , \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是样本。

• 验证 \(\theta\) 的矩估计和最大似然估计都是 \(\bar{x}\) ；

• 验证 \(\bar{x}\) 也是 \(\theta\) 的相合估计和无偏估计；

• 试证明在均方误差准则下存在优于 \(\bar{x}\) 的估计。（提示：考虑 \(\hat{\theta}_n = a \bar{x}\) ，找均方误差最小者）

• 设 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是来自密度函数为

\[ p(x;\theta) = e^{-(x-\theta)}, x>\theta \]

的总体的样本。

• 求 \(\theta\) 的最大似然估计 \(\hat{\theta}_1\) , 它是否是相合估计？是否是无偏估计？

• 求 \(\theta\) 的矩估计 \(\hat{\theta}_2\) ，它是否是相合估计？它是否是无偏估计？