6.2. 数学期望#
- 数学期望
分为离散型和连续型两种定义。
假设 \(X\) 为一个离散随机变量，其分布列记为 \(p_{i}=P\left(X=x_{i}\right) \quad i=1.2, \cdots, n, \cdots\) 。 如果 \(\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_{i}\right| p_{i}<\infty\) ，则称
\[E(x)=\sum_{i=1}^{\infty} x_{i} p\left(x_{i}\right)\]
为随机变量 \(X\) 的（数学）期望或均值。
假设 \(X\) 为一个连续随机变量，其密度函数 \(p(x)\) 。如果 \(\int_{-\infty}^{+\infty}|x| p(x) d x<\infty\) ，则称
\[E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} x p(x) d x\]
为随机变量 \(X\) 的（数学）期望或均值。
Remark
如果 \(\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_{i}\right| p_{i}\) 或 \(\int_{-\infty}^{+\infty}|x| p(x)\) 不收敛，则称 \(X\) 的期望不存在。
Example 6.2
设 \(X\) 服从区间 \((a,b)\) 上的均匀分布，求 \(E(X)\) .
Solution
因为 \(X\) 的密度函数为
\[\begin{split}
p(x) = \left\{
\begin{aligned}
& \frac{1}{b-a}, & a<x<b,\\
& 0, & \text{其他}.
\end{aligned}
\right.
\end{split}\]
所以，
\[
E(X) = \int_{a}^b x \frac{1}{b-a}\text{d} x = \frac{1}{b-a} \left.\frac{x^2}{2}\right|_a^b = \frac{a+b}{2}.
\]