10.5. 习题#
设 \(X\) 和 \(Y\) 是相互独立的随机变量，且 \(X \sim Exp(\lambda),Y \sim Exp(\mu)\) .如果定义随机变量 \(Z\) 如下
\[\begin{split}
Z = \left\{\begin{aligned}
1, & \text{当}X\leq Y,\\
0, & \text{当}X > Y.
\end{aligned}
\right.
\end{split}\]
求 \(Z\) 的分布列。
设随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 独立同分布，其密度函数为
\[\begin{split}
p(x) = \left\{\begin{aligned}
&e^{-x}, & x > 0,\\
&0, & x\leq0.
\end{aligned}\right.
\end{split}\]
求 \(U = X + Y\) 与 \(V = X/(X + Y)\) 的联合密度函数 \(p(u,v)\) 。
以上的 \(U\) 与 \(V\) 独立吗？
设随机变量 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 相互独立，且 \(X_i\sim Exp(\lambda_i)\) ,试证：
\[P(X_i = \min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}) = \frac{\lambda_i}{\lambda_1 + \lambda_2 +\cdots+ \lambda_n}
\]
在某一天，你的高尔夫球得分介于 101 到 110 之间，且取各个值的概率相等，均为 0.1。不同的日子里，你的高尔夫球得分是相互独立的。为了提高自己的分数，你决定在三个不同的日子里进行比赛，并取这三天的最低分数作为最终得分。设 \(X_1,X_2,X_3\) 为三天的高尔夫球得分，而 \(X\) 为最终的得分。
计算 \(X\) 的概率质量函数；
三天的比赛让你的期望成绩改变了多少？
（选做）设 \(X_i\) 都是独立同分布的随机变量，且服从均匀分布 \(U(0,1),i=1,2,\cdots,\) 。令 \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) 。
求 \(S_1,S_2,S_3,S_4\) 的分布；
当 \(n\rightarrow\infty\) ， \(S_n\) 分布是怎样的？