6.8. 习题#
计算题设随机变量 \(X\) 的密度函数为\[ p(x) = \begin{cases} a + bx^2, & 0\leq x\leq 1\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \]如果 \(E(X) = 2/3\) ,求 \(a\) 和 \(b\) 。
计算题设随机变量 \(X\) 的分布函数为\[ F(x) = 1- e^{-x^2},x > 0 \]试求 \(E(X)\) 和 \(\text{Var}(X)\) 。
计算题设随机变量 \(X \sim U(a,b)\) ，对 \(k = 1,2,3,4\) ，求：\(\mu_k = E(X^k)\) 与 \(\upsilon_k = E(X - E(X))^k\) ；
偏度系数和峰度系数。
计算题设随机变量 \(X\) 服从双参数韦布尔分布，其分布函数为\[ F(x) = 1-\exp \left \{-\left (\frac{x}{\eta} \right )^m \right \}, x>0, \]其中 \(\eta > 0,m > 0\) 。试求：
该分布的 \(p\) 分位数 \(x_p\) 的表达式；
当 \(m = 1.5,\eta = 1000\) 时的 \(x_{0.1},x_{0.5},x_{0.8}\) 的值。
自主练习请根据常见分布的分布列或密度函数，计算其期望和方差。
分布 |
分布列/密度函数 |
期望 |
方差 |
|---|---|---|---|
二项分布 \(b(n,p)\) |
\(P(X=x) = \frac{n!}{x!(n-x)!} p^x (1-p)^{n-x}, x = 0,1, \cdots,n\) |
\(np\) |
\(np(1-p)\) |
泊松分布 \(P(\lambda)\) |
\(P(X=x) = \frac{\lambda^x}{x!} e^{-\lambda }, x = 0,1, \cdots\) |
\(\lambda\) |
\(\lambda\) |
负二项分布 \(Nb(r,p)\) |
\(P(X=x) = \frac{(x-1)!}{(r-1)!(x-r)!} (1-p)^{x-r}p^r, x = r,r+1, \cdots\) |
\(\frac{r}{p}\) |
\(\frac{r(1-p)}{p^2}\) |
正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) |
\(p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\}, -\infty <x <\infty\) |
\(\mu\) |
\(\sigma^2\) |
均匀分布 \(U(a,b)\) |
\(p(x) = \frac{1}{b-a}, a<x<b\) |
\(\frac{a+b}{2}\) |
\(\frac{(b-a)^2}{12}\) |
伽马分布 \(Ga(\alpha,\lambda)\) |
\(p(x) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha -1} \exp\{-\lambda x\}, x \geq 0\) |
\(\frac{\alpha}{\lambda}\) |
\(\frac{\alpha}{\lambda^2}\) |
贝塔分布 \(Be(a,b)\) |
\(p(x) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} x^{a-1} (1-x)^{b-1}, 0<x<1\) |
\(\frac{a}{a+b}\) |
\(\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}\) |