14.2. 独立同分布下的中心极限定理

Theorem 14.1 (林德伯格-莱维（Lindeberg-Levy）中心极限定理)

设 \(\{X_n\}\) 是独立同分布的随机变量序列，且 \(E(X_i)=\mu,\text{Var}(X_i) = \sigma^2>0\) 存在，若记

\[ S_n^{\ast} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n \mu}{\sigma \sqrt{n}}, \]

则对任意实数 \(y\) ，有

\[ \lim_{n\rightarrow \infty} P(S_n^{\ast} \leq s) = \Phi(s) \]

Remark

• 这个定理的证明需要利用特征函数，学生可以参考《概率论与数理统计教程》第 212 页。

• 林德伯格-莱维中心极限定理表示独立同分布，且二阶矩存在的随机变量序列是满足中心极限定理。

以下，我们讨论一种特定的分布——二项分布。

Theorem 14.2 (棣莫弗-拉普拉斯（de Moivre-Laplace）中心极限定理)

设 \(n\) 重伯努利实验中，事件 \(A\) 在每次实验中出现的概率为 \(p(0<p<1)\) ，记 \(S_n\) 为 \(n\) 次实验中实验 \(A\) 出现的次数，且记

\[ S_n^{\ast} = \frac{S_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \]

则对任意实数 \(y\) ，有

\[ \lim_{n\rightarrow \infty} P(S_n^{\ast} \leq s) = \Phi(s). \]

Remark

对于棣莫弗-拉普拉斯（de Moivre-Laplace）中心极限定理，我们具体讨论一下。

• 二项分布的近似分布，可以采用泊松分布，也可以使用正态分布。一般来说，在 \(p\) 比较小时，用泊松分布近似较好；而在 \(np>5\) 和 \(n(1-p)>5\) 时，用正态分布比较好。

• 因为二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，在近似时通常可以做一些修正来提高精度。对任意 \(s_1<s_2\) ， \(P(s_1 \leq S_n \leq s_2)\) 的修正方案为

\[ P(s_1-0.5 \leq S_n \leq s_2+0.5) = \Phi\left(\frac{s_2+0.5 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) - \Phi\left(\frac{s_1 - 0.5 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right). \]

Example 14.1

若 \(S_n \sim b(25,0.4)\) ，那么 \(P(5\leq S_n \leq 15) = 0.9774\) 。我们可以计算

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} \text{修正后：}P(5\leq S_n \leq 15) &=& \Phi\left(\frac{15+0.5 - 10}{\sqrt{25\times 0.4\times 0.6}}\right) -\Phi\left(\frac{5-0.5 - 10}{\sqrt{25\times 0.4\times0.6}}\right) = 0.9753,\\ \text{未修正：}P(5\leq S_n \leq 15) &=& \Phi\left(\frac{15 - 10}{\sqrt{25\times 0.4\times 0.6}}\right) -\Phi\left(\frac{5 - 10}{\sqrt{25\times 0.4\times 0.6}}\right) = 0.9588. \end{eqnarray*} \end{split}\]

同时，这种修正方案也可以适用于计算 \(P(S_n = k)\) 的情况。

Example 14.2

若 \(S_n \sim b(25,0.4)\) ，那么 \(P(S_n = 10) = 0.1612\) 。根据修正方案，我们可以计算

\[ \Phi\left(\frac{10+0.5 - 10}{\sqrt{25\times 0.4\times 0.6}}\right) -\Phi\left(\frac{10-0.5 - 10}{\sqrt{25\times 0.4\times 0.6}}\right) = 0.1617. \]