2.5. 贝叶斯公式

Theorem 2.5 (贝叶斯公式)

设 \(B_{1},B_{2},\cdots,B_{n}\) 为样本空间 \(\Omega\) 的一个分割，即 \(B_{1},B_{2},\cdots,B_{n}\) 互不相容，且 \(\cup_{i=1}^{n} B_{i}=\Omega\) .如果 \(P(A)>0,P(B_{i})>0,i=1,2,\cdots,n\) ，则：

\[P(B_{i} |A)=\frac{P(B_{i} )P(A|B_{i} )}{\sum_{j=1}^{n} P(B_{j} )P(A|B_{j} )} ,i=1,2,\cdots ,n\]

Proof

由条件概率的定义可知：

\[P(B_{i} |A)=\frac{P(AB_{i} )}{P(A)} =\frac{P(B_{i} )P(A|B_{i} )}{\sum_{j=1}^{n} P(B_{j} )P(A|B_{j} )}\]

在上式中，分子上应用了乘法公式（Theorem 2.2），分母上应用了全概率公式（Theorem 2.4）。因此，定理得证。

Example 2.6 (肝癌首测)

某地区居民的肝癌发病率为 \(0.0004\) ，现用甲胎蛋白法进行普查。医学研究表明，化验结果是可能存在错误的。已知患有肝癌的人其化验结果 \(99\%\) 呈阳性，而没患肝癌的人其化验结果 \(99.9\%\) 呈阴性。现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率是多少？

Solution

记 \(B\) 为事件“被检查者患有肝癌”， \(A\) 为事件“检查结果呈阳性”。根据题目可知：

\[\begin{eqnarray*} P(B) &=& 0.0004, \quad P(\overline{B}) = 1- 0.0004 = 0.9996\\ P(A|B) &=& 0.99, \quad P(A|\overline{B}) = 1- 0.999 = 0.001 \end{eqnarray*}\]

我们关心的问题是求 \(P(B|A)\) 。由贝叶斯公式得

\[\begin{eqnarray*} P(B|A) &=& \frac{P(B)P(A|B)}{P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B}}\\ &=& \frac{0.0004 \times 0.99}{0.0004\times 0.99 + 0.9996 \times 0.001} = 0.2837 \end{eqnarray*}\]

这表明了，在检查结果呈阳性的人中，真患肝癌的人约为 \(28.37\%\) 。

Remark 2.4

首次检验结果呈阳性出现高误报率的原因是：肝癌的发病率很低。在 \(10000\) 个人中约有 \(4\) 人患肝癌，而约有 \(9996\) 人不患肝癌。对 \(10000\) 个人用甲胎蛋白法进行检查，按其错检的概率可知， \(99996\) 个不患肝癌的人约有 \(9996\times 0.001 = 9.996\) 个呈阳性。另外 \(4\) 个真患肝癌者的检查报告中约为 \(4\times 0.99 = 3.96\) 个呈阳性。从 \(13.956\) 个呈阳性者中，真患肝癌的 \(3.96\) 人约占 \(28.37\%\) 。

Example 2.7 (肝癌复测)

对首次检查呈阳性的人群再进行复查。此时 \(P(B)=0.2837\) ，再次使用贝叶斯公式可得：

\[\begin{eqnarray*} P(B|A) &=& \frac{P(B)P(A|B)}{P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B}}\\ &=& \frac{0.2847 \times 0.99}{0.2847\times 0.99 + 0.7153 \times 0.001} = 0.9975 \end{eqnarray*}\]

Example 2.8 (“狼来了”)

设事件 \(A\) 为“小孩说谎”，事件 \(B\) 为“小孩可信”。

不妨设村民过去对这个小孩的印象为：

\[ P(B)=0.8 \quad P(\overline{B} )=0.2 \]

第一次说谎后，村民对他的信任程度有所改变。我们假设可信的孩子说谎的概率为 \(P(A|B)=0.1\) ，不可信的孩子说谎的概率为 \(P(A|\overline{B})=0.4\) .

利用贝叶斯公式，计算小孩第一次说谎后，其可信的概率为：

\[ P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(B)P(A|B)+P(\overline{B} )P(A|\overline{B})} =\frac{0.8\times 0.1}{0.8\times 0.1+0.2\times 0.5}=0.444 \]

在一次说谎后，村民对小孩的信任程度由 \(0.8\) 变为 \(0.444\) ，即：

\[ P(B)=0.444 \quad P(\overline{B} )=0.556 \]

第二次说谎后，村民对他的信任程度为：

\[ P(B|A)=\frac{0.444\times 0.1}{0.444\times 0.1+0.556\times 0.5}=0.138 \]

这表明：村民经过两次上当后，对这个小孩的信任程度已经从 \(0.8\) 下降到了 \(0.138\) ，如此低的信任度，村民听到第三次呼叫时怎么会在上山打狼呢？