14.3. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的应用案例

回顾一下棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，我们知道

\[ P(S_n^{\ast} \leq s) = \Phi(s). \]

注意到， \(\Phi(s)\) 本质上是一个概率值。对于给定概率 \(\Phi(s)\) 时， \(s\) 可以认为是相应的分位数。而二项分布中由两个参数 \(n\) 和 \(p\) ，其中 \(n\) 表示实验次数，也通常被认为是样本量（这个概念将会在第 14 讲中给出）。 于是，在棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的应用，我们要解决以下三个问题：

• 求分位数；

• 求概率；

• 求样本量。

14.3.1. 求分位数

Example 14.3

某奶茶店共售卖两种奶茶：珍珠奶茶和纯奶茶。其差异在于是否放珍珠。假设每位顾客点任何一种奶茶是等可能的，且点单是相互不受影响。已知每杯珍珠奶茶中需放入 5 克珍珠。请问，至少要准备多少克珍珠，才可以有 \(95\%\) 的可能性，接受 100 杯奶茶的点单？

Solution

设第 \(i\) 位顾客点了珍珠奶茶为 \(X_i\) ， \(X_i \sim b(1,p_0),p_0=0.5\) ，即

\[\begin{split}X_{i}=\left\{\begin{aligned} &1,&\text{如果第 i 位顾客点了珍珠奶茶}\\ &0,&\text{如果第 i 位顾客点了纯奶茶}\\ \end{aligned}\right.\end{split}\]

所以，100 位顾客中共有

\[ \sum_{i=1}^{100}X_i \sim b(100,p_0) \]

点了珍珠奶茶。设我们拟准备 \(s\) 克珍珠。于是， \(s\) 克珍珠能够满足 100 位顾客的点单，即

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} 95\% &\leq& P\left( 5\times \sum_{i=1}^{100}X_i \leq s\right)\\ & = & P\left( \sum_{i=1}^{100}X_i \leq \frac{s}{5}\right) \\ & = & P\left(\frac{\sum_{i=1}^{100} X_{i}-50}{\sqrt{25}} \leq \frac{\frac{s}{5}+0.5-50}{\sqrt{25}}\right)\\ &=& \Phi\left(\frac{s}{25}-9.9\right) \end{eqnarray*} \end{split}\]

可以解得

\[ s = (\Phi^{-1}(0.95) + 0.99 ) \times 25 = 288.62 \approx 290. \]

14.3.2. 求概率

Example 14.4

已知我们预定了 290 克珍珠，共 58 杯珍珠奶茶。某公司一次性订购 100 杯奶茶，该公司的员工更加偏好珍珠奶茶。假设每一杯珍珠奶茶的点单可能性提高到了 60%，请问 290 克是否能够满足这 100 杯奶茶的订单？

Solution

由于 \(X_i\sim b(1,p_0)\) ，这里 \(p_0=0.6\) 。我们考虑以下概率

\[ P\left( \sum_{i=1}^{100} X_i \leq 58 \right) . \]

这个概率可以直接利用二项分布来计算，即

\[ P\left( \sum_{i=1}^{100} X_i \leq 58 \right) = \sum_{k=0}^{58} 0.6^{58} 0.4^{100-58}=0.3775. \]

也可以用正态分布来近似计算，即

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} P\left(\sum_{i=1}^{100} x_{i} \leq 58\right) &=&P\left( \frac{\sum_{i=1}^{100} x_{i}-60}{\sqrt{24}} \leq \frac{58+05-60}{\sqrt{24}} \right) \\ &=& 0.3797. \end{eqnarray*} \end{split}\]

14.3.3. 求样本量

Example 14.5

结合上述两个例子，我们发现顾客的奶茶偏好对备料十分重要。于是，我们需要调研一下顾客的奶茶偏好。假定顾客的真实奶茶偏好为 \(p\) 。理解为本奶茶店接单中每杯奶茶是珍珠奶茶的概率是 \(p\) 。我们通常可以利用历史订单得到概率 \(p\) 的估计值 \(\hat{p}\) 。请问至少要看多少历史订单数量（多少杯奶茶），要保证有 95 \(\%\) 的把握使得估计值 \(\hat{p}\) 与真实的 \(p\) 之间的差异不超过 \(1\%\) ？

Solution

令 \(X_i\) 表示第 \(i\) 杯奶茶是珍珠奶茶，即

\[ X_i = \left\{ \begin{aligned} &1,& \text{如果第 $i$ 杯奶茶是珍珠奶茶}; &0,& \text{其他}. \end{aligned} \right. \]

于是， \(X_i \sim b(1,p)\) ， \(p\) 表示珍珠奶茶的点单概率。假设共需要看 \(n\) 杯奶茶的历史订单信息，则

\[ S_n = \sum_{i=1}^n X_i \]

表示 \(n\) 杯奶茶中的珍珠奶茶的数量，即 \(S_n \sim b(n,p)\) 。根据大数定律(LLN)，当 \(n\) 很大时，

\[ \frac{S_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \overset{P}{\rightarrow} p. \]

根据中心极限定理（CLT），

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} 95\% &\leq& P\left(\left|\frac{S_{n}}{n}-p\right| \leqslant 0.01 \right)\\ &=&=P\left(\left|\frac{S_{n} / n-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\right| \leq \frac{0.01}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\right) \\ &=& 2 \Phi\left(0.01 \sqrt{\frac{n}{p(1-p)}}\right)-1, \end{eqnarray*} \end{split}\]

于是，

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} \Phi\left(0.01 \sqrt{\frac{n}{p(1-p)}}\right) \geq 0.975\\ \end{eqnarray*} \end{split}\]

我们可以解出

\[ \begin{eqnarray*} \frac{n}{p(1-p)} \geq \left(\frac{\Phi^{-1}(0.975)}{0.01}\right)^2. \end{eqnarray*} \]

注意到

\[ p(1-p) \leqslant \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=0.25 \]

所以，

\[ n \geq \left(\frac{\Phi^{-1}(0.975)}{0.01}\right)^2 \times 0.25 = 9604. \]

因此，至少要看 \(9604\) 杯奶茶的历史订单数量，要保证有 95 \(\%\) 的把握使得估计值 \(\hat{p}\) 与真实的 \(p\) 之间的差异不超过 \(1\%\) 。