5.4. 习题#
计算题Alvin 向半径为 \(r\) 的圆形目标投掷飞镖，有可能落到目标中的任何一点。设 \(X\) 为 Alvin 的飞镖的落点与目标中心的距离。
计算 \(X\) 的概率密度函数；
目标具有半径为 \(t\) 的内圆。如果 \(X\leq t\) ，Alvin 得到 \(S = 1/X\) 的分数。 否则他的分数为 \(S = 0\) 。 求 \(S\) 的 分布函数。同时， \(S\) 是连续随机变量吗？
计算题设连续随机变量 \(X\) 的分布函数为：\[\begin{split} F(x) = \left\{\begin{matrix}0, & x<0,\\ Ax^2, & 0\leq x < 1,\\ 1, & x \geq 1. \end{matrix} \right. \end{split}\]试求：
系数 \(A\) ；
\(X\) 落在区间 \((0.3,0.7)\) 内的概率；
\(X\) 的密度函数；
证明题设连续随机变量 \(X\) 的密度函数 \(p(x)\) 是一个偶函数, \(F(x)\) 为 \(X\) 的分布函数，求证对任意实数 \(a > 0\) ，有：
\(F(-a) = 1- F(a) = 0.5-\int_0^a p(x)dx\) ；
\(P(|X| < a) = 2F(a)-1\) ；
\(P(|x| > a) = 2(1-F(a))\) 。
计算题设 \(K\) 服从 \((1,6)\) 上的均匀分布，求方程 \(x^2 + Kx +1 = 0\) 有实根的概率。计算题设随机变量 \(X\) 服从伽马分布 \(Ga(2,0.5)\) ,试求 \(P(X < 4)\) 。计算题某地区漏缴税款的比例 \(X\) 服从参数 \(a=2,b=9\) 的贝塔分布，试求此比例小于 \(10\%\) 的概率及平均漏缴税款的比例。概念题假设一个随机变量 \(X\) ，其概率质量函数或概率密度函数（统称为概率函数）为 \(p(x)\) 。设 \(g(x)\) 为一个非常值函数。如果存在一个非零常数 \(c\) ，使得：\[ p(x) = c \cdot g(x) \]那么称 \(g(x)\) 为概率函数的“核”。
例如： \(X\sim N(0,1)\) ，其概率函数的“核”为 \(\exp\{-x^2/2\},x \in R\) ； \(X\sim b(1,p)\) ，其概率函数的“核”为 \(p^{x}(1-p)^{1-x},x = 0,1\) ；
请指出以下函数是哪个随机变量的概率函数的核。
\(p^{x}(1-p)^{m-x}, x=0,1,2,\cdots,m\) ，其中 \(p,m\) 是参数。
\(p^{m}(1-p)^{x-m}, x=m,m+1,\cdots\) ，其中 \(p,m\) 是参数。
\(x^{p}(1-x)^{m-p},x\in (0,1)\) ；这里 \(p,m\) 是参数。
\(e^{-2\gamma x^2},x\in R\) ，这里 \(\gamma\) 是参数。
\(e^{-2\gamma x},x\in R\) ，这里 \(\gamma\) 是参数。
\(x^{2}e^{-2\gamma x},x\in R\) ，这里 \(\gamma\) 是参数。