6.5. \(k\) 阶矩

\(k\) 阶矩

设 \(X\) 为随机变量， \(k\) 为正整数。如果以下的数学期望都存在，则

• 称

\[ \mu_k = E(X^k) \]

为 \(X\) 的 \(k\) 阶原点矩。

• 称

\[ \nu_k = E((X-E(X))^k) \]

为 \(X\) 的 \(k\) 阶中心矩。

Remark

• \(\mu_1\) 是数学期望；

• \(\nu_2\) 是方差；

• \(k\) 阶矩存在时， \(k-1\) 阶矩也存在，从而低于 \(k\) 的各阶矩都存在。

• 中心矩和原点矩的关系

\[ \nu_k = E(X-E(X))^k = E(X-\mu_1)^k = \sum_{i=0}^k C_k^i \mu_i (-\mu_1)^{k-i}. \]

基于矩，统计学中也关注以下三个特征数，供学生课后自行了解。

变异系数

设随机变量 \(X\) 的二阶矩存在，则称比值

\[ C_v(X) = \frac{\sqrt{Var(X)}}{E(X)} = \frac{\sigma(X)}{E(X)}. \]

为 \(X\) 的变异系数。

Remark

变异系数是一个无量纲的量，从而消除量纲对波动的影响。

偏度系数

设随机变量 \(X\) 的前三阶矩阵存在，则比值

\[\beta_{s}=\frac{\nu_{3}}{\nu_{2}^{{3}/{2}}}=\frac{E(X-E(X))^{3}}{(\operatorname{Var}(X))^{{3}/{2}}}\]

称为 \(X\) 或分布的偏度系数，简称偏度。

Remark

• 偏度 \(\beta_s\) 是描述分布偏离对称程度的一个特征数；

• \(\beta_{s}<0\) 时，称左偏，又称负偏；

• \(\beta_{s}>0\) 时，称右偏，又称正偏；

• 对于连续型随机变量，当密度函数 \(p(x)\) 关于其数学期望对称，则其三阶中心矩 \(\nu_3\) 必为0，从而 \(\beta_s =0\) 。

• 当密度 \(p(x)\) 关于数学期望堆成时, \(V_{3}=0 \Rightarrow \beta_{s}=0\) 。

• \(\beta_{s}<0\) 时，称左偏。

• \(\beta_{s}>0\) 时，称右偏。

峰度系数

设随机变量 \(X\) 的前四阶存在，则

\[\beta_{k}=\frac{\nu_{4}}{\nu_{2}^{2}}-3=\frac{E(X-E(X))^{4}}{(\operatorname{Var}(X))^{2}}-3 \]

称为 \(X\) 或分布的峰度系数，简称峰度。

Remark

• 峰度是描述分布是否存在“尖峰后尾”现象的一个特征数；

• 正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) 中 \(\nu_2 = \sigma^2\) 且 \(\nu_4 = 3\sigma^4\) （请同学们课后证明）。于是， \(\beta_k = 3\sigma^4 / \sigma^4 - 3 =0\) 。这表明了峰度系数 \(\beta_k\) 是相对于正态分布而言的超出量。

• \(\beta_{k}>0\) 表示“厚尾”分布；

• \(\beta_{k}<0\) 表示“薄尾”分布；

• 偏度和峰度都是描述分布形状的特征数。