25.2. 泊松过程的基本概念

泊松过程（Poisson 过程）

如果一个整数值随机过程 \(\{N(t),t\geq 0\}\) 满足以下三个条件：

• \(N(0) = 0\) ；

• \(N(t)\) 是独立增量过程；

• 对任何 \(t>0, s\geq 0\) 增量 \(N(t+s) - N(s)\) 服从参数为 \(\lambda t\) 的泊松分布，即

\[ P(N(t+s) - N(s) = k) = \frac{(\lambda t)^k }{k!}e^{-\lambda t}, k=0,1,\cdots \]

则称该随机过程为强度为 \(\lambda >0\) 的泊松过程。

Remark

• \(N(0)=0\) 表明了泊松过程中随机事件从时刻 0 开始计数；

• 重要性质： \(E(N(t)) = \text{Var}(N(t)) = \lambda t\) ；

• 增量 \(N(t+s) - N(t)\) 表示在 \((s,s+t]\) 中发生的随机事件数。条件 2 和条件 3 确保了泊松过程是一个独立平稳增量过程。

以下有一个泊松过程的等价定义。

Theorem 25.2

假设一个随机过程 \(N(t)\) 满足以下条件：

• 在不相交区间中发生事件的数目相互独立，即对任何整数 \(n=1,2,\cdots\) ，设时刻 \(t_0 = 0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n\) ，增量 \(N(t_1) - N(t_0), N(t_2)-N(t_1),\cdots,N(t_n) - N(t_{n-1})\) 相互独立；

• 对任何时刻 \(t\) 和正数 \(h\) ，随机变量增量 \(N(t+h) - N(t)\) 的分布只依赖于区间长度 \(h\) 而不依赖于时刻 \(t\) ；

• 存在正常数 \(\lambda\) ，当 \(h\rightarrow0\) 时，使在长度为 \(h\) 的小区间中事件至少发生一次的概率

\[ P(N(t+h) - N(t) \geq 1) = \lambda h + o(h). \]

• 在小区间 \((t,t+h]\) 发生两个或两个以上事件的概率为 \(o(h)\) ，即当 \(h\rightarrow0\) 时，

\[ P(N(t+h) - N(t) \geq 2) = o(h). \]

则该随机过程 \(N(t)\) 为泊松过程。

Remark

在上述定理的条件中，

• 条件 1 表明前后增量是独立的；

• 条件 2 表明前后增量是时齐的；

• 条件 3 和条件 4 表明事件的概率与 \(\lambda\) 有关，且事件具有相继性，即事件是一件一件发生的，在同一瞬间同时发生多个时间的概率很小很小。

• 方兆本，缪柏其《随机过程》科学出版社\quad 第 2 章