10.3. 极值分布

\(\max\) 和 \(\min\) 是两种常见的运算，其广泛的应用于风险管理问题中。比如：上海地区今年最高气温达到 40 摄氏度的概率有多大？这里我们利用两个例题来阐述在不同的条件下如何计算极值的分布。

Example 10.4 (最大值分布)

设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是相互独立的 \(n\) 个随机变量，若 \(Y=\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}\) ，在以下情况下求 \(Y\) 的分布。

独立

Example 10.5

若 \(X_i \sim F_i(x),i=1,2,\cdots,n\) ，则 \(Y=\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}\) 的分布函数为

Solution

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} F_Y(y) &=& P(Y\leq y)\\ &=& P(\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}\leq y)\\ &=& P(X_1\leq y,X_2\leq y,\cdots,X_n \leq y)\\ &=& P(X_1\leq y) P(X_2\leq y) \cdots P(X_n \leq y)\\ &=& \prod_{i=1}^n F_{i}(y). \end{eqnarray*} \end{split}\]

独立同分布

若诸 \(X_i\) 同分布，即 \(X \sim F(x), i=1,2,\cdots,n\) ，则 \(Y\) 的分布函数为

Solution

\[ F_Y(y) = \left(F(y)\right)^n. \]

连续且独立同分布

若诸 \(X_i\) 为连续随机变量，且诸 \(X_i\) 同分布，即 \(X_i\) 的密度函数为 \(p(x),i=1,2,\cdots,n\) ，则 \(Y\) 的分布函数仍为

Solution

\[ F_Y(y) = \left(F(y)\right)^n. \]

而 \(Y\) 的密度函数为

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} p_Y(y) &=& \frac{\text{d}}{\text{d}y}F_Y(y) \\ &=& n \left(F(y)\right)^{n-1} p(y). \end{eqnarray*} \end{split}\]

指数分布

若 \(X_i \sim Exp(\lambda),i=1,2,\cdots,n\) ，则 \(Y\) 的分布函数为

Solution

\[\begin{split} F_Y(y) = \left\{ \begin{aligned} & (1-e^{-\lambda y})^n, & y\geq 0\\ & 0, & y < 0\\ \end{aligned} \right. \end{split}\]

而 \(Y\) 的密度函数为

\[\begin{split} p_Y(y) = \left\{ \begin{aligned} & n(1-e^{-\lambda y})^{n-1}\cdot \lambda e^{-\lambda y} , & y\geq 0\\ & 0, & y < 0\\ \end{aligned} \right. \end{split}\]

Example 10.6 (最小值分布)

设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是相互独立的 \(n\) 个随机变量，若 \(Z=\min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}\) ，在以下情况下求 \(Z\) 的分布。

独立

Example 10.7

若 \(X_i \sim F_i(x),i=1,2,\cdots,n\) ，则 \(Y=\min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}\) 的分布函数为

Solution

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} F_Z(z) &=& P(Z\leq z)\\ &=& P(\min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}\leq z)\\ &=&1 - P(\min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\} > z)\\ &=& 1- P(X_1> z,X_2> y,\cdots,X_n >z)\\ &=& 1-P(X_1>z) P(X_2>z) \cdots P(X_n>z)\\ &=& 1- \prod_{i=1}^n\left( 1-F_{i}(z)\right). \end{eqnarray*} \end{split}\]

独立同分布

若诸 \(X_i\) 同分布，即 \(X \sim F(x), i=1,2,\cdots,n\) ，则 \(Z\) 的分布函数为

Solution

\[ F_Z(z) = 1-\left(1-F(z)\right)^n. \]

连续且独立同分布

若诸 \(X_i\) 为连续随机变量，且诸 \(X_i\) 同分布，即 \(X_i\) 的密度函数为 \(p(x),i=1,2,\cdots,n\) ，则 \(Z\) 的分布函数仍为

Solution

\[ F_Z(z) =1- \left(1-F(z)\right)^n. \]

而 \(Z\) 的密度函数为

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} p_Z(z) &=& \frac{\text{d}}{\text{d}z}F_Z(z) \\ &=& n \left(1-F(z)\right)^{n-1} p(z). \end{eqnarray*} \end{split}\]

指数分布

若 \(X_i \sim Exp(\lambda),i=1,2,\cdots,n\) ，则 \(Z\) 的分布函数为

Solution

\[\begin{split} F_Z(z) = \left\{ \begin{aligned} & 1-e^{-n\lambda z}, & z\geq 0\\ & 0, & z < 0\\ \end{aligned} \right. \end{split}\]

而 \(Z\) 的密度函数为

\[\begin{split} p_Y(y) = \left\{ \begin{aligned} & n\lambda e^{-n\lambda z}, & z\geq 0\\ & 0, & z < 0\\ \end{aligned} \right. \end{split}\]