22.4. 两个总体正态分布下的假设检验问题

22.4.1. 方差已知时，均值差的检验

Example 22.9

设 \(x_1,x_2,\cdots,x_m\) 来自正态总体 \(N(\mu,\sigma_1^2)\) 的样本， \(y_1,y_2,\cdots,y_n\) 来自正态总体 \(N(\mu,\sigma_2^2)\) 的样本。两样本相互独立。我们想要检验

\[ H_0: \mu_1 \leq \mu_2 + l \quad \text{vs}\quad H_1: \mu_1 > \mu_2 + l. \]

如果 \(\sigma_1^2,\sigma_2^2\) 已知，那么求水平为 \(\alpha\) 的显著性检验。

Solution

令 \(\theta = \mu_1- \mu_2 -l\) 。原本的假设等价于

\[ H_0: \theta \leq 0 \quad \text{vs}\quad H_1: \theta > 0. \]

通常我们对 \(\theta\) 的点估计为

\[ \hat{\theta} = \bar{x} -\bar{y} -l. \]

在原假设 \(H_0\) 下，取 \(\theta = 0\) ，有

\[ \bar{x} -\bar{y}-l \sim N\left(0,\frac{\sigma_1^2}{m} + \frac{\sigma_2^2}{n} \right) . \]

所以，经标准化后，可得检验统计量为

\[\frac{\bar{x} -\bar{y}-l}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m} + \frac{\sigma_2^2}{n}}}.\]

因此，水平为 \(\alpha\) 的显著性检验的拒绝域为

\[ W = \left\{ \frac{\bar{x} -\bar{y}-l}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m} + \frac{\sigma_2^2}{n}}} \geq z_{1-\alpha} \right\}. \]

22.4.2. 方差未知时，均值差的检验

Example 22.10

设 \(x_1,x_2,\cdots,x_m\) 来自正态总体 \(N(\mu,\sigma_1^2)\) 的样本， \(y_1,y_2,\cdots,y_n\) 来自正态总体 \(N(\mu,\sigma_2^2)\) 的样本。两样本相互独立。 我们想要检验

\[ H_0: \mu_1 \leq \mu_2 + l \quad \text{vs}\quad H_1: \mu_1 > \mu_2 + l. \]

如果 \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 =\sigma^2\) 未知，那么求水平为 \(\alpha\) 的显著性检验。

Solution

令 \(\theta = \mu_1- \mu_2 -l\) 。原本的假设等价于

\[ H_0: \theta \leq 0 \quad \text{vs}\quad H_1: \theta > 0. \]

通常我们对 \(\theta\) 的点估计为

\[ \hat{\theta} = \bar{x} -\bar{y} -l. \]

在原假设 \(H_0\) 下，取 \(\theta = 0\) ，有

\[ \bar{x} -\bar{y}-l \sim N\left(0,\sigma^2\left(\frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)\right) . \]

因为 \(\sigma^2\) 是冗余参数，这里我们用和方差进行估计，即

\[ s_w^2 = \frac{(m-1)\sum_{i=1}^m (x_i -\bar{x})^2 +(n-1)\sum_{i=1}^n (y_i -\bar{b})^2 }{m+n-2}. \]

所以，经标准化后，可得检验统计量为

\[\frac{\bar{x} -\bar{y}-l}{s_w\sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}}} \sim t(m+n-2).\]

因此，水平为 \(\alpha\) 的显著性检验的拒绝域为

\[ W = \left\{ \frac{\bar{x} -\bar{y}-l}{s_w\sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}}} \geq t_{1-\alpha}(m+n-2) \right\}. \]

Remark

这个检验是两样本独立 \(t\) 检验。

22.4.3. 成对数据的检验

Example 22.11

为了比较两种谷物种子的优劣，特选取 10 块土质不全相同的工地，并将每块分为面积相同的两部分，分别种植这两种种子，施肥与田间管理在 20 块小块土地上都是一样，表 Table 22.2 是各小块上的单位产量。

Table 22.2 成对数的数据

土地	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
种子 1 \((x)\)	23	35	29	42	39	29	37	34	35	28
种子 2 \((y)\)	30	39	35	40	38	34	36	33	41	31
差 \(d=x-y\)	-7	-4	-6	2	1	-5	1	1	-6	-3

假定单位产量服从等方差的正态分布，试问：两种种子的平均单位产量在显著性水平 \(\alpha = 0.05\) 上有无差异差异？

Solution

假定 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 来自正态分布 \(N\left(\mu_{1}, \sigma^{2}\right)\) 和 \(y_1,y_2,\cdots,y_n\) 来自正态分布 \(N\left(\mu_{2}, \sigma^{2}\right)\) 且两样本独立。我们需要检验的问题为

\[ H_0: \mu_1 = \mu_2 \quad \text{vs} \quad H_1: \mu_1 \neq \mu_2. \]

首先，我们考虑两样本独立 \(t\) 检验。由于检验统计量为

\[ t_1 = \frac{\bar{x}-\bar{y}}{s_w \sqrt{1/n+1/n}} = -1.1937 \]

其中， \(\bar{x}=33.1\) ， \(\bar{y}=35.7\) ， \(s_1^2 = 33.2111\) ， \(s_y^2 = 14.2333\) ， \(s_w^2 = 23.7222\) 。且 \(t\) 分布的 \(1-\alpha/2\) 分位数为

\[ t_{0.975}(18) = 2.1009 > |t_1| \]

所以，无法拒绝原假设，即认为两种种子的单位产量平均值没有显著差别。 但是重新看一看数据，我们发现在同一地块上不同种子的产量的差，大于零的数的绝对值比较小，但小于零的数的绝对值比较大，这让我们认为这两种种子的产量是有差异的，但与两样本独立 \(t\) 检验的结论不一致。这是因为土地之间的差异性比较大，而在比较种子时，选取了同一个地块上分别验证了两种种子的产量。基于此，我们计算其差，得到 \(d_i,i=1,2,\cdots,n\) 。由于两种种子的产量均服从正态分布，其差仍服从正态分布 \(N(\mu_d,\sigma_d^2)\) ， \(\sigma_d^2\) 未知。我们需要检验的问题也转换为

\[ H_0: \mu_d= 0 \quad \text{vs} \quad H_1: \mu_d \neq 0 \]

因为方差未知，我们采用单样本 \(t\) 检验。检验统计量为

\[ t_2 = \frac{\bar{d}}{\sqrt{s_d^2/n}} = -2.3475, \]

而 \(t\) 分布的 \(1-\alpha/2\) 分位数为

\[ t_{0.975}(9) = 2.2622 < |t_2|. \]

因此，在显著性水平为 \(0.05\) 时，我们发现种子 \(y\) 的产量与种子 \(x\) 的产量是不同的，且种子 \(y\) 的产量更高。