19.1. 引导问题

在参数模型中，假定总体分布 \(X\sim p(x;\boldsymbol{\theta}),\boldsymbol{\theta}\in \boldsymbol{\Theta}\) 。这里 \(\boldsymbol{\theta}\) 是总体分布中的未知参数，可以是一维的，也可以是多维的。

Example 19.1

考虑以下两个总体分布：

• 若 \(X \sim P(\lambda)\) 。这里总体分布存在一个泊松分布族，即

\[ \mathcal{P} = \left\{\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}: \lambda > 0\right\}, \]

其中参数是 \(\boldsymbol{\theta} = \lambda, \boldsymbol{\Theta} = R^{+}\) 。一旦 \(\lambda = \lambda_0\) 确定后，总体分布就唯一确定。

• 若 \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\) 。这里总体分布存在一个正态分布族，即

\[ \mathcal{P} = \left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right\}: \mu \in R, \sigma^2 > 0\right\}, \]

其中参数是 \(\boldsymbol{\theta} = (\mu,\sigma^2)', \boldsymbol{\Theta} = R\times R^{+}\) 。一旦 \((\mu,\sigma^2) = (\mu_0,\sigma_0^2)\) 确定后，总体分布就唯一确定。

实际中，参数模型中的参数都是未知的，而我们需要通过样本 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 来推断 \(\boldsymbol{\theta}\) （或其函数 \(g(\boldsymbol{\theta})\) ）。

估计

设 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是来自总体的一个样本，称用于估计未知参数 \(\boldsymbol{\theta}\) 的统计量

\[ \hat{\boldsymbol{\theta}} = \hat{\boldsymbol{\theta}}(x_1,x_2,\cdots,x_n) \]

为 \(\boldsymbol{\theta}\) 的估计量，或称为 \(\boldsymbol{\theta}\) 的点估计，简称估计。

在本讲中，我们讲介绍三种频率学派的点估计思想：替换、拟合、似然及其对应的估计方法。