三种分布的构造方式

17.2. 三种分布的构造方式#

在本讲中，首先我们介绍三种“新”的分布，这些分布都来自于用于估计和检验任务中常见的统计量。与之前学习思路不同，这些分布并不是来自于伯努利实验，也并不是通过数学推导而得的。这些分布是构造出来的，我们需要关注于这三个分布的构造方式。

17.2.1. 卡方分布#

在第 6 讲中，我们已经证明了一个命题：标准正态分布 \(X\sim N(0,1)\) ，则 \(X^2 \sim Ga(1/2,1/2)\) 。我们将 \(Ga(1/2,1/2)\) 命名为卡方分布 \(\chi^2(1)\) 。另外，在第 9 讲中，我们也已经证明了一个命题：伽马分布具有可加性。于是，如果 \(Y_1,Y_2,\cdots,Y_n\) 独立同分布于 \(Ga(1/2,1/2)\) ，那么

\[ \sum_{i=1}^n Y_i \sim Ga(n/2,1/2). \]

我们将 \(Ga(n/2,1/2)\) 命名为自由度为 \(n\) 的卡方分布，即 \(\chi^2(n)\) 。于是，我们可以有以下定义。

卡方分布

设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 独立同分布于标准正态分布 \(N(0,1)\) ，则称

\[ \chi^2 = X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2 \]

的分布为自由度为 \(n\) 的 \(\chi^2\) 分布，记为 \(\chi^2 \sim \chi^2(n)\) 。

根据伽马分布的期望和方差公式，我们知道，如果 \(\chi^2 \sim \chi^2(n)\) ，那么

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} E(\chi^2) &=& n\\ \text{Var}(\chi^2) &=& 2n \end{eqnarray*} \end{split}\]

以下两个分布是建立在卡方分布之上。

17.2.2. \(F\) 分布#

\(F\) 分布

设随机变量 \(X_{1}\sim \chi^{2}(m),X_{2}\sim \chi^{2}(n)\) ，且 \(X_{1}\) 与 \(X_{2}\) 独立，则称

\[F=\frac{X_{1} /m }{X_{2}/n}\]

的分布是自由度为 \(m\) 与 \(n\) 的 \(F\) 分布，记为 \(F(m,n)\) 。其中， \(m\) 为分子自由度， \(n\) 为分母自由度。

Remark

  • 根据增补变换法，可以推导 \(F\) 的密度函数为

\[ p_F(y) = \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right) \left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{m}{2}} }{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right) \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} y^{\frac{m}{2}-1} \left(1+\frac{m}{n}y\right)^{-\frac{m+n}{2}}, y>0. \]

  • 通过图像绘制， \(F\) 分布是一个偏态分布。

  • 易证：若 \(F \sim F(m,n)\) ，则 \(1/F \sim F(n,m)\) ；

  • \(F\) 分布分布数的性质。若 \(F_{\alpha}(m,n)\) 为自由度为 \(m\) 和 \(n\) 的 \(F\) 分布分位数。于是，若存在一个随机变量 \(F \sim F(m,n)\) ，则 \(1/F\) 也是一个 \(F\) 分布随机变量，其自由度分别为 \(n\) 和 \(m\) 。所以，

\[ \alpha = P\left(\frac{1}{F}\leq F_{\alpha}(n,m)\right) = P\left(F \geq \frac{1}{F_{\alpha}(n,m)}\right), \]

从而

\[ P\left( F \leq \frac{1}{F_{\alpha}(n,m)}\right) =1-\alpha. \]

因此，

\[ F_{1-\alpha} (m,n) = \frac{1}{F_{\alpha}(n,m)}. \]

17.2.3. \(t\) 分布#

\(t\) 分布

设随机变量 \(X_1\) 与 \(X_2\) 独立且 \(X_1\sim N(0,1),X_2\sim \chi^2(n)\) ，则称

\[t=\frac{X_{1}}{\sqrt{X_{2}/n } } \]

的分布为自由度为 \(n\) 的 \(t\) 分布，记为 \(t\sim t(n)\) 。

Remark

  • 根据增补变换法，可以推导 \(t\) 的密度函数为

\[ p_t(y) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2} \right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(1 + \frac{y^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}, -\infty < y < \infty. \]

  • \(t\) 分布的密度函数 vs 标准正态分布的密度函数。

  • \(t\) 分布的密度函数和标准正态分布的密度函数均为偶函数，形状类似。

  • 特别当 \(n\) 比较小时，尾部概率比标准正态分布的大一些。